Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 18. Приближенное вычисление мультипликаторов

Пусть непрерывная -периодическая матрица. Основной промежуток с помощью точек

разобьем на равных частей, и пусть

В дифференциальном уравнении

где следуя [30], заменим матрицу кусочно-постоянной матрицей:

где

например,

Обозначим через непрерывную матрицу, удовлетворяющую в точках непрерывности коэффициента дифференциальному уравнению

где и Обобщенное решение легко построить. На основании формул (3.18.2) имеем

и

где постоянные матрицы. Отсюда

и

Используя непрерывность решения в точке будем иметь

Кроме того, при получаем

Из формулы (3.18.4) последовательно выводим

причем, так как матрицы в общем случае неперестановочны, то в формуле (3.18.5) нельзя применить правило перемножения экспоненциалов. Следовательно,

Таким образом, для последнего промежутка будем иметь

Отсюда, полагая, что получим

Используя первую норму матрицы (см. § 8 из гл. I), оценим Из дифференциальных уравнений (3.18.1) и (3.18.3) имеем

и

Отсюда

Переходя к норме при получим

Пусть

тогда

Из формулы (3.18.6) при находим

Так как матрица то для каждого существует такое, что

если и Отсюда при будем иметь

Следовательно, формулы (3.18.8) получаем

Применяя лемму Гронуолла — Беллмана (гл. II, § 11), получим

и, следовательно,

Так как число может быть взято произвольно малым, то из неравенства (3.18.9) будем иметь

т. е.

Рассмотрим характеристические уравнения

и

и пусть соответственно, корни этих уравнений. Так как корни являются непрерывными функциями параметра то в силу соотношения (3.18.10) имеем

Таким образом, выбрав достаточно малым, из уравнения (3.18.11) можно определить мультипликаторы с любой степенью точности.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление