Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 19. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с периодическими коэффициентами

Рассмотрим скалярное дифференциальное уравнение

где

Полагая

будем иметь

где

и

Для исследования устойчивости приведенного уравнения (3.19.1) заменим его эквивалентной системой

матрица которой есть

Заметим, что

Будем говорить, что уравнение (3.19.1) устойчиво или неустойчиво, если устойчива или, соответственно, неустойчива система (3.19.2). Таким образом, все решения устойчивого уравнения (3.19.1) ограничены на вместе с их производными

Из теории Флоке следует (см. § 17, пример), что если решение уравнения (3.19.1) ограничено на то его производная также ограничена на Таким образом, уравнение неустойчиво только в том случае, если оно имеет неограниченные на решения.

Построим фундаментальную матрицу решений

где линейно независимые решения уравнения (3.19.1), удовлетворяющие начальным условиям:

и

Следуя Ляпунову, решения можно получить в виде сходящихся рядов. Действительно, вводя в уравнение (3.19.1) числовой параметр (см. [13]), будем иметь

где в окончательном результате следует положить Пусть решение уравнения (3.19.5) имеет вид

Подставляя это выражение в дифференциальное уравнение (3.19.3) и предполагая возможность двукратного почленного дифференцирования, получим

Отсюда

и

Введем начальные условия:

и

тогда начальные условия (3.19.3) для функции на основании (3.19.6), очевидно, будут выполнены. Из уравнений (3.19.7) и (3.19.8) находим

и

Последний интеграл можно заменить однократным. Действительно, меняя порядок интегрирования в этом интеграле, будем иметь

Итак,

Исследуем сходимостьряда (3.19.10). Пусть

На основании формулы (3.19.9), учитывая, что при любом , последовательно имеем

Таким образом, функциональный ряд (3.19.10) мажорируется рядом

который сходится для любой системы значений признака Вейерштрасса ряд (3.19.10) сходится абсолютно и равномерно в любой конечной области Легко также убедиться, что ряды, полученные в результате почленного дифференцирования ряда (3.19.10) по переменной также абсолютно и равномерно сходятся в любой конечной области Следовательно, сумма ряда (3.19.10) представляет собой решение дифференциального уравнения (3.19.5). Полагая получим окончательно

Аналогично для дифференциального уравнения (3.19.5) строится второе решение

где

и

Отсюда

и, следовательно,

Характеристическое уравнение имеет вид

Отсюда, учитывая, что

получим

где

— так называемая константа Ляпунова. Из формулы (3.19.12) имеем

Поэтому для константы Ляпунова а получаем выражение

Будем предполагать, что коэффициент веществен; тогда константа а также вещественная. Из уравнения (3.19.13) имеем

Возможны три случая:

Рис. 23.

Если то характеристическое уравнение (3.19.13) имеет два действительных корня из которых один по модулю меньше единицы, а другой — больше. Таким образом, мультипликатор лежит внутри единичного круга а мультипликатор вне этого круга (рис. 23). Следовательно, уравнение (3.19.1) неустойчиво.

Если то корни характеристического уравнения комплексно-сопряжены и их модули равны 1, причем Следовательно, мультипликаторы расположены на окружности и не совпадают между собой (рис. 24). В силу теоремы из

§ 16 уравнение (3.19.1) устойчиво, т. е. все решения его ограничены.

Случай когда требует более детального рассмотрения.

Отсюда на основании формулы (3.19.15) имеем следующий признак неустойчивости уравнения (3.19.1).

Рис. 24.

Теорема 1. Если непрерывный периодический коэффициент может принимать лишь отрицательные или нулевые значения, не будучи тождественно равным нулю, то линейное уравнение (3.19.1) неустойчиво, причем мультипликаторы положительны и один из них больше единицы, а другой — меньше. Действительно, так как

и

то из формулы (3.19.15) имеем

Рассмотрим теперь случай неотрицательного коэффициента в уравнении (3.19.1).

Теорема 2 (Интегральный признак устойчивости Ляпунова). Если непрерывная -периодическая функция может принимать лишь положительные или нулевые значения, не будучи тождественно равной нулю, и выполнено неравенство

то все решения уравнения (3.19.1) ограничены вместе с их производными первого порядка на т. е. уравнение (3.19.1) устойчиво.

Доказательство. На основании формулы (3.19.15) для константы Ляпунова имеем следующее выражение:

где

и

Имеем

Используя очевидное неравенство

получим

при

Таким образом,

Отсюда в силу условия (3.19.16) находим

Из сходимости ряда (3.19.17) вытекает

Следовательно, ряд (3.19.17) представляет собой ряд Лейбница и, значит, справедливы оценки или в силу неравенства (3.19.16)

Отсюда в силу уравнения (3.19.13) мультипликаторы комплексно-сопряженные, причем Значит, уравнение (3.19.1) устойчиво и каждое решение его ограничено вместе с производной

Следствие. Если линейное дифференциальное уравнение (3.19.1) с непрерывным положительным -периодическим коэффициентом имеет неограниченное решение, то выполнено неравенство

Замечание. Изложенная выше теория Ляпунова об устойчивости приведенного дифференциального уравнения (3.19.1) остается в силе, если его -периодический коэффициент ограничен при и является кусочно-непрерывным на

Действительно, в этом случае решения определяемые начальными условиями (3.19.3) и (3.19.4), также изображаются функциональными рядами (3.19.11) и (3.19.12), сходящимися на и допускающими почленное дифференцирование. Сходимость всех этих рядов, как следует из несложных оценок их членов, равномерна на любом конечном интервале Следовательно, и суть функции класса удовлетворяющие дифференциальному уравнению (3.19.1) всюду, за исключением, быть может, точек разрыва коэффициента число которых конечно на каждом промежутке т. е. являются обобщенными решениями (см. § 18) уравнения (3.19.1). Иначе говоря, суть решения дифференциального уравнения (3.19.1), записанного в интегральной форме:

Так как

при то и представляют собой фундаментальную систему решений дифференциального уравнения (3.19.1) на каждом интервале непрерывности его коэффициента Отсюда, используя непрерывность функций и переходя

к пределам, получаем, что образуют фундаментальную систему решений уравнения (3.19.1) на всем промежутке Тем самым константа Ляпунова а имеет выражение (3.19.15) и приведенные выше признаки неустойчивости и устойчивости уравнения вида (3.19.1) полностью переносятся на наш случай.

Пример 1. Рассмотрим уравнение Матье

Здесь

Следовательно,

Отсюда в силу признака Ляпунова область устойчивости (рис. 25) характеризуется неравенствами

Более подробно этот вопрос разобран у Стокера (см. [31]), где построена область устойчивости, полученная численным методом.

Отметим, что наличие неравенства где — положительные постоянные, не гарантирует ограниченности решений уравнения (3.19.1).

Пример 2. Пусть

где

Рис. 25.

Рис. 26.

Под решениями дифференциального уравнения (3.19.19) будем понимать функции класса удовлетворяющие этому уравнению всюду, за исключением, быть может, точек разрыва коэффициента

Заменим уравнение (3.19.19) системой

и пусть - нормированная фундаментальная матрица такая, что На основании (3.19.20), используя прием, примененный в § 18, имеем

и

при

Отсюда из требования непрерывности при матрицы находим

Таким образом, матрица монодромии имеет вид

Следовательно, константа Ляпунова для уравнения (3.19.19) есть

Очевидно,

Отсюда следует, что уравнение (3.19.19), коэффициент которого положителен, может быть как устойчивым, так и неустойчивым. Полагая, например, и будем иметь следовательно,

уравнение (3.19.19) устойчиво. Если при получим

и, таким образом, уравнение (3.19.19) неустойчиво.

Замечание. Н. Е. Жуковский доказал, что постоянную 4 в признаке Ляпунова (3.19.16) нельзя заменить большей, т. е. в этом смысле она является наилучшей. Приведем простой пример системы вида (3.19.1) с кусочно-постоянным коэффициентом, иллюстрирующий это обстоятельство, идея которого принадлежит Н. П. Купцову.

Пример 3. Пусть — произвольно малое положительное число . В -периодическом уравнении

положим

и

Очевидно, имеем

Покажем, что при достаточно малом 5 и надлежащем выборе параметра с уравнение (3.19.22) неустойчиво. Для этого достаточно убедиться, что соответствующая константа Ляпунова а [см. (3.19.21)] удовлетворяет неравенству а

Действительно, положим

Тогда

и, следовательно,

Отсюда

Используя известные асимптотические разложения тригонометрических функций:

на основании формулы (3.19.21) для константы Ляпунова а получаем следующее выражение:

Следовательно, при достаточно малом положительном 6 выполнено неравенство и таким образом, уравнение (3.19.22) является неустойчивым.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление