Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 20. Гамильтонова система дифференциальных уравнений

Пусть

действительна и

Система

называется гамильтоновой или канонической с функцией Гамильтона Такие системы играют важную роль в теоретической механике (см. [32], [33]). Заметим, что если не зависит от

то каноническая система (3.20.1) допускает первый интеграл

Положим

и пусть

— так называемая симплектическая единица. Тогда каноническую систему (3.20.1) можно записать в виде

где

Для единообразия введем обозначения: Тогда

Пусть функция Гамильтона есть квадратичная форма переменных т. е.

где

Из формулы (3.20.3) имеем

где — симметрическая матрица. Отсюда получаем линейную гамильтонову систему

с функцией Гамильтона

Заметим, что

Действительно, если

то

и, следовательно,

Пусть

— любые решения гамильтоновой системы (3.20.4) (векторы-столбцы). Через обозначим транспонированное решение (вектор-строку)

Лемма. Для любых двух решений х и у линейной гамильтоновой системы (3.20.4) остается постоянным их симплектическое произведение

Доказательство. Дифференцируя функцию и, получим

Так как х и у — решения системы (3.20.4), то

Отсюда, учитывая симметричность матрицы и то, что

получаем

Следовательно, принимая во внимание, что

из формулы (3.20.5) имеем

Поэтому

Замечание. Лемма остается верной для -матричных решений и гамильтоновой системы (3.20.4), т. е.

где С — постоянная -матрица.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление