Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Норма матрицы

Определение. Под нормой матрицы понимается неотрицательное число удовлетворяющее следующим условиям (аксиомам):

1) , и обратно, если то ;

2) , где любое комплексное число;

3) , где любые матрицы, допускающие сложение;

4) , где любые матрицы, допускающие умножение.

Из 2) и 3) вытекает

В дальнейшем мы будем использовать три нормы:

(евклидова норма).

Для вектора-столбца

эти нормы имеют, соответственно, следующие значения:

В дальнейшем, если некоторое соотношение окажется выполненным для любой нормы то значок при норме будет опускаться.

Нетрудно проверить [3], что для приведенных норм выполнены аксиомы 1) — 4). Кроме того, имеет место следующее свойство:

Отметим, что если есть -матрица, то

Отметим еще одно полезное свойство нормы:

Действительно,

т. е.

Аналогично имеем

Из неравенств (1.4.2) и (1.4.3) вытекает неравенство (1.4.1).

Введем понятие абсолютной величины (модуля) матрицы полагая

Для норм очевидно, имеем

Для матриц одинакового типа можно ввести понятие неравенства

в том случае, если в частности, если

Из формул для норм вытекает: если выполнено неравенство (1.4.4)

то справедливо свойство монотонности нормы

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление