Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 21. Возвратные уравнения

Определение. Алгебраический полином

называется возвратным, если коэффициенты его, симметричные относительно крайних членов полинома, равны между собой, т. е.

Отсюда вытекает, что для возвратного полинома степени справедливо тождество

Обратно, если для полинома выполнено тождество (3.21.3), то этот полином возвратный.

Приравняв нулю возвратный полином, получим возвратное уравнение

Если степень возвратного уравнения четная, то с помощью подстановки

его можно свести к уравнению степени у относительно неизвестного

Возвратное уравнение нечетной степени имеет корень выделив который получим возвратное уравнение четной степени Таким образом, указанная выше подстановка позволяет привести возвратное уравнение нечетной степени к алгебраическому уравнению степени

Лемма. Если уравнение (3.21.4) возвратное, то каждому корню его соответствует взаимно обратный корень

той же кратности. Если, сверх того, данное уравнение имеет корень то кратность этого корня четная; если же оно

имеет корень то кратность последнего сравнима со степенью уравнения по модулю два.

Доказательство. Действительно, корни возвратного уравнения удовлетворяют условию (3.21.5), так как, если

то на основании тождества (3.21.3) имеем

Таким образом, есть также корень уравнения (рис. 27).

Заметим, что в случае получаем очевидный результат

Покажем теперь, что кратности взаимно обратных корней возвратного уравнения одинаковы.

Рис. 27.

Обозначим через кратности корней расположенных внутри единичного круга и на верхней полуокружности а через кратности соответствующих взаимно обратных корней расположенных, очевидно, вне единичного круга и на нижней полуокружности Кроме того, кратности возможных корней лежащих на окружности обозначим, соответственно, через . Если какие-нибудь из указанных корней отсутствуют, то мы условно считаем, что кратность их равна нулю. Отсюда разложение многочлена на множители будет иметь вид

где

Так как полином возвратный, то в силу тождества (3.21.3) имеем

В силу свойства единственности разложения (3.21.6) и (3.21.8) должны совпадать между собой; поэтому

четно.

Кроме того, из соотношения (3.21.7) получаем

Лемма доказана.

Следствие. Если возвратное уравнение четной степени имеет корень или корень то эти корни четной кратности.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление