Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 22. Теорема Ляпунова-Пуанкаре

Теорема Ляпунова-Пуанкаре. Если матрица линейной еамильтоновой системы

-периодическая, то характеристическое уравнение

где матрица монодромии, является возвратным.

Доказательство. Приведем простое доказательство теоремы, принадлежащее Гельфанду и Лидскому (см. [34]).

На основании леммы и замечания к ней (§ 20) для фундаментальной матрицы справедливо соотношение

Полагая и учитывая, что получим

Таким образом,

и, следовательно,

В частности,

Отсюда, учитывая, что

при имеем

Но

поэтому

Таким образом,

и, значит (§ 21), характеристическое уравнение (3.22.2) является возвратным.

Следствие 1. Для гамильтоновой системы (3.22.1) мультипликаторы имеют одинаковую кратность.

Следствие 2. Если характеристическое уравнение (3.22.2) имеет корень или то эти корни четной кратности.

Из теоремы Ляпунова-Пуанкаре вытекает, что гамильтонова линейная система не может быть асимптотически устойчивой (§ 15).

Теорема. Линейная гамильтонова система с периодическими коэффициентами устойчива тогда и только тогда, когда все ее мультипликаторы расположены на единичной окружности и имеют простые элементарные делители.

Рассмотрим систему (см. [29]):

где -матрица периодическая и симметрическая:

Запишем матричное уравнение (3.22.4) в виде системы:

или

где

Так как матрица симметрическая, т. е. имеем теорему: характеристическое уравнение для периодической системы (3.22.5) возвратное.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление