Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 24. Метод малого параметра

Рассмотрим слабо нелинейную (квазилинейную) периодическую систему

где и -периодичны,

и малый параметр, причем при система (3.24.1) совпадает с линейной системой (порождающей системой):

Для доказательства существования -периодических решений нелинейной системы (3.24.1) изложим принадлежащий Пуанкаре «метод малого параметра» (см. [35], [14], [36]).

Теорема. Если все мультипликаторы однородной системы (3.24.2) отличны от единицы, то при достаточно малых нелинейная система (3.24.1) имеет единственное -периодическое решение такое, что

где -периодическое решение порождающей системы (3.24.2).

Доказательство. Обозначим через решение системы (3.24.1), определяемое начальным условием:

Так как правая часть системы -периодична по и удовлетворяет условиям единственности решений, то для существования -периодического решения этой системы необходимо и достаточно, чтобы для некоторого было бы обеспечено условие:

Пусть периодическое решение порождающей системы (3.24.2), которое существует в силу теоремы § 23, определяется начальным условием: Тогда имеем

Из теории неявных функций известно, что (см. [7]) для того, чтобы уравнение (3.24.5) имело единственное непрерывное решение в окрестности точки достаточно, чтобы определитель Якоби

где

Отсюда, полагая, что

получаем

Из теории дифференциальных уравнений следует (см. [9], [10], [11]), что решение имеет непрерывные частные производные по начальным данным Введя обозначения

и дифференцируя по систему (3.24.1), будем иметь

или

Отсюда при получаем

Кроме того, при имеем

поэтому

Таким образом, является нормированной фундаментальной матрицей однородной системы (3.24.2) и интересующий нас якобиан имеет вид

Так как для однородной системы (3.24.2) ее мультипликаторы 1, то для векового уравнения

число не является корнем. Поэтому

и, следовательно, нелинейная система (3.24.1) при имеет единственное -периодическое решение непрерывное по параметру и такое, что

Теорема доказана.

Замечание. В этой формулировке период не обязательно наименьший, он может быть кратен некоторому наименьшему периоду т. е. теорема остается верной, если

где — период системы (3.24.1) и целое число, отличное от нуля.

Упражнения к главе III

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление