Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Знакоопределенные функции

Рассмотрим функцию

где

Введем основные определения о знакопостоянных и знакоопределенных функциях (см. [13], [14]).

Определение 1. Действительная непрерывная скалярная функция называется знакопостоянной (знакоположительной или знакоотрицательной) в если

при

Определение 2. Функция называется положительно определенной (определенно положительной) в если существует скалярная функция такая, что

Аналогично функция называется отрицательно определенной (определенно отрицательной) в если найдется такая, что

и

Положительно или отрицательно определенная функция называется знакоопределенной.

В качестве иногда можно брать

В частности, есть знакоопределенная функция, если при где для положительно определенной функции а для отрицательно определенной функции

Пример 1. В действительном пространстве функция

при является положительно определенной, так как

при

Рис. 29.

При функция лишь знакоположительна.

Нетрудно дать геометрическую иллюстрацию знакоопределенной функции Пусть положительно определенная функция такая, что

где при Предположим, что поверхности уровня

в пространстве представляют собой семейство непрерывных замкнутых поверхностей, окружающих начало координат О и монотонно расширяющихся при росте параметра С (рис. 29). Тогда, очевидно, каждая поверхность уровня

для любого значения параметра будет целиком расположена внутри соответствующей поверхности

Определение 3. Говорят, что функция имеет бесконечно малый высший предел при если при некотором имеем

на при т. е. для любого существует такое, что

при

В силу неравенства (4.2.3) заключаем, что функция допускающая бесконечно малый высший предел при ограничена в некотором полуцилиндре

Отметим, что если непрерывная функция, не зависящая от времени и такая, что то, очевидно, допускает бесконечно малый высший предел при

Пример 2. Функция (4.2.2) при допускает бесконечно малый высший предел, когда

Функция

не допускает бесконечно малого высшего предела при несмотря на то, что эта функция ограничена при

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление