Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Первая теорема Ляпунова (теорема об устойчивости)

Пусть и

есть приведенная система, т. е.

очевидно, допускающая тривиальное решение: Положим

и

Функцию

называют производной (полной) по времени функции в силу системы (4.3.1).

Если есть решение системы (4.3.1), то представляет собой полную производную по времени сложной функции т. е.

Более точно, пусть есть решение системы (4.3.1), определяемое начальными условиями: Тогда

Заметим, что если то из формулы (4.3.3) может не следовать формула (4.3.2). В дальнейшем, если явно не указано противное, мы будем предполагать, что

Рис. 30.

Если при то интегральные кривые в точках поверхности переходят с отрицательной стороны поверхности, характеризуемой нормалью — на положительную ее сторону, определяемую нормалью (рис. 30). При имеет место обратная картина. Такого рода поверхности называются поверхностями без контакта для поля интегральных кривых системы (4.3.1).

Замечание. Понятие производной в силу системы (4.3.1) можно обобщить (см. [41]). А именно, иногда полагают

Если очевидно, имеем формулу (4.3.2).

Теорема (первая теорема Ляпунова). Если для приведенной системы (4.3.1) существует положительно определенная скалярная функция

допускающая знакоотрицательную производную по времени в силу системы, то тривиальное решение данной системы устойчиво по Ляпунову при

Доказательство. На основании условия теоремы имеется непрерывная положительно определенная функция такая, что

и

В пространстве рассмотрим сферу

целиком лежащую в где

Так как сфера компактное множество и функция непрерывна и положительна на то в силу теоремы Вейерштрасса нижняя грань этой функции достигается в некоторой точке следовательно,

Рис. 31.

Пусть произвольно. Функция непрерывна по причем Следовательно, существует окрестность такая, что

Рассмотрим любое нетривиальное решение

с начальным условием: (рис. 31). Докажем, что траектория этого решения целиком остается внутри сферы т. е.

Действительно, при имеем

Пусть неравенство (4.3.9) выполнено не для всех и первая точка выхода решения на границу 5., т. е. и Изучим поведение функции

вдоль решения Так как в силу условия теоремы

то функция невозрастающая. Следовательно, учитывая формулы (4.3.7) и (4.3.6), имеем

что невозможно.

Таким образом, решение при любом конечном остается внутри сферы так как это решение определено при 00 (бесконечно продолжаемо вправо), причем

если только . А это и значит (гл. II, § 1, определение 1), что тривиальное решение устойчиво по Ляпунову при

Следствие 1. При наличии условий первой теоремы Ляпунова все решения системы (4.3.1) с достаточно малыми по норме начальными значениями бесконечно продолжаемы вправо и ограничены на полуоси

Следствие 2. Если для линейной однородной системы

существует положительно определенная функция для которой производная в силу системы то все решения системы (4.3.10) определены и ограничены на полуоси

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление