Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Вторая теорема Ляпунова (теорема об асимптотической устойчивости)

Теорема (вторая теорема Ляпунова). Пусть для приведенной систгмы (4.3.1) существует положительно определенная функция допускающая бесконечно малый высший предел при и имеющая отрицательно определенную производную по времени в силу этой системы. Тогда тривиальное решение системы асимптотически устойчиво по Ляпунову при

Доказательство. Так как условия теоремы являются усилением условий теоремы из § 3, то тривиальное решение приведенной системы (4.3.1) устойчиво.

Согласно определению асимптотической устойчивости (гл. II, § 1, определение 4) остается доказать, что для каждого нетривиального решения

где достаточно мало, справедливо равенство

Рассмотрим функцию

Так как в силу условия теоремы

то функция монотонно убывающая и, будучи ограниченной снизу, имеет конечный предел

Рис. 32.

Покажем, что число а не может быть положительным. Действительно, предположим, что Тогда наше нетривиальное решение удовлетворяет неравенству

где В — положительная постоянная, т. е. траектория этого решения остается вне сферы радиуса 3 (рис. 32).

В самом деле, если это так, то найдется последовательность такая, что

Отсюда в силу существования бесконечно малого высшего предела функции при имеем

А это противоречит при формуле (4.4.2), так как если есть предел функции при то для любой последовательности должно быть выполнено условие

Итак, в случае имеет место неравенство (4.4.3) и, кроме того, можно предполагать, что (в силу устойчивости тривиального решения

Пусть непрерывная положительно определенная функция, удовлетворяющая неравенству

Такая функция существует, так как согласно условию теоремы отрицательно определенная функция.. Введем обозначение:

Тогда, интегрируя неравенство (4.4.4) в пределах от до и учитывая, что при будем иметь

или, так как

то

Из неравенства (4.4.6) получаем, что при достаточно большом

что противоречит положительности функции Итак,

Покажем теперь, что при Действительно, пусть произвольно мало и

Из формулы (4.4.7) следует, что существует момент такой, что

Отсюда в силу монотонного убывания функции получаем

и, следовательно,

Действительно, если для некоторого момента выполняется противоположное неравенство

то учитывая формулы (4.4.9) и (4.4.8), мы имели бы

что, очевидно, невозможно.

Итак, на основании неравенства (4.4.10) имеем

что и требовалось доказать.

Следствие 1. В условиях второй теоремы Ляпунова множество принадлежит области притяжения тривиального решения

Следствие 2. Если для линейной однородной системы

существует положительно определенная функция удовлетворяющая условиям второй теоремы Ляпунова, то каждое решение этой системы асимптотически устойчиво в целом.

Пример. Пусть

— положительно определенная функция класса такая, что и

Рассмотрим систему уравнений (см. [13])

имеющую, очевидно, тривиальное решение:

Принимая V за функцию Ляпунова для производной V но в силу системы (4.4.11) получим такое выражение:

Следовательно в силу теоремы из § 3 тривиальное решение системы (4.4.11) устойчиво по Ляпунову при

Устойчивость будет асимптотической, если V представляет собой отрицательно определенную функцию. Для этого необходимо и достаточно, чтобы система

имела единственное нулевое решение в некоторой окрестности На основании теории неявных функций для этого достаточно, чтобы гессиан

был отличен от нуля в точке О.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление