Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Третья теорема Ляпунова (теорема о неустойчивости)

Теорема 3 (третья теорема Ляпунова). Пусть для приведенной системы (4.3.1) существует функция допускающая бесконечно малый высший предел при и обладаюшая знакоопределенной производной по в силу системы. Если при некотором в любой окрестности найдется точка для которой знак функции V одинаков со знаком производной V, т. е. такая, что

то тривиальное решение системы (4.3.1) неустойчиво в смысле Ляпунова при

Доказательство. Пусть для определенности положительно определенная функция, т. е.

при где непрерывная знакоположительная функция. Так как в силу условия теоремы функция допускает бесконечно малый высший предел при то ограничена в достаточно узком цилиндре, т. е.

при где некоторые положительные числа.

Пусть произвольно мало. В силу условия теоремы существует точка где такая, что

Положим

где — решение, определяемое начальным условием: причем

В силу неравенства (4.5.2) функция монотонно возрастает вместе с следовательно, при имеем

Покажем, что при некотором значении будет выполнено неравенство

Действительно, пусть До при тогда решение бесконечно продолжаемо вправо. Так как функция имеет бесконечно малый высший предел при то из неравенства (4.5.5) на основании рассуждений, приведенных при доказательстве второй теоремы Ляпунова, следует, что

где некоторое положительное число. Пусть

тогда, учитывая неравенство получаем

Следовательно, при имеем

что противоречит ограниченности функции в области

Так как любое и фиксировано, то на основании неравенств (4.5.4) и (4.5.6) заключаем, что тривиальное решение неустойчиво по Ляпунову при (см. гл. II, § 1, определение 3).

Теорема доказана.

Замечание 1. В третьей теореме функция не обязательно является знакоопределенной.

Замечание 2. Функции удовлетворяющие условиям первой, второй и третьей теорем Ляпунова, будем называть соответственно функциями Ляпунова 1-го, 2-го и 3-го рода.

Следствие. Если для приведенной системы дифференциальных уравнений существует функция Ляпунова 1-го или 2-го, или 3-го рода, то тривиальное решение этой системы, соответственно, устойчиво, асимптотически устойчиво, неустойчиво по Ляпунову при

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление