Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Асимптотическая устойчивость в целом

Рассмотрим приведенную систему

где

Определение 1. Говорят, что тривиальное решение системы (4.7.1) асимптотически устойчиво в целом (см. [16]), если: 1) оно асимптотически устойчиво по Ляпунову и 2) для каждого решения выполнено условие:

(т. е. область притяжения представляет собой все пространство (см. гл. II, § 1)). Аналогично определяется асимптотическая устойчивость в целом нетривиального решения

Определение 2. Будем говорить, что допускает бесконечно большой низший предел при если

т. е. для любого существует такое, что

Определение 3. Будем говорить, что допускает в сильный бесконечно малый высший предел при если существует функция такая, что

при (ср. § 3, определение 3).

Теорема Барбашина — Красовского (см. [42]). Если для системы (4.7.1) существует положительно определенная скалярная функция допускающая в сильный бесконечно малый высший предел при и бесконечно большой низший предел при причем производная в силу системы отрицательно определенна в то тривиальное решение асимптотически устойчиво в целом.

Доказательство. Так как условия этой теоремы, очевидно, включают условия первой теоремы Ляпунова (§ 3), то тривиальное решение устойчиво по Ляпунову при

Пусть нетривиальное решение системы (4.7.1), определяемое начальными условиями: где произвольно.

Обозначим через некоторый компакт (т. е. ограниченное замкнутое множество пространства содержащий точку

и пусть

В силу неравенства (4.7.4) имеем

Так как функция обладает в бесконечно большим пределом при то существует шар такой, что

По условию теоремы вдоль траектории выполнено неравенство

поэтому при имеем

и, следовательно,

т. е. все решения системы (4.7.1) ограничены.

Рис. 34.

Покажем теперь, что

Пусть произвольно и таково, что функция определяемая формулой (4.7.4), удовлетворяет неравенству

Покажем, что решение при обязательно войдет внутрь замкнутого шара Действительно, допустим, что

(рис. 34). Тогда будучи отрицательно определенной, имеет в области отрицательную верхнюю

грань значит, при справедливо неравенство

Интегрируя это неравенство в пределах от до получим

если только

что противоречит положительности функции Следовательно, существует момент такой, что

т. е.

Отсюда ввиду монотонного убывания функции при будем иметь

и, таким образом,

Из последнего равенства выводим, что

так как в противном случае существовала бы последовательность такая, что

вопреки равенству (4.7.7). Теорема доказана.

Замечание. Из доказательства следует, что при условии теоремы Барбашина — Красовского асимптотическая устойчивость в целом равномерна по на любом компакте т. е. можно гарантировать, что (см. [16])

при где

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление