Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8. Экспоненциальная устойчивость

Определение. Тривиальное решение системы (4.7.1) называется экспоненциально устойчивым при (см. [16]), если для каждого решения этой системы в некоторой области справедливо неравенство

где — положительные постоянные, не зависящие от выбора решения

Легко видеть, что из экспоненциальной устойчивости решения следует его асимптотическая устойчивость. Действительно, полагая

где произвольно, из неравенства (4.8.1) имеем

т. е. решение устойчиво по Ляпунову. Кроме того, очевидно,

если только

Если неравенство (4.8.1) справедливо для всех точек то имеет место асимптотическая устойчивость в целом. Из неравенства (4.8.1) следует, что если тривиальное решение системы (4.7.1) экспоненциально устойчиво, то близкие к нему решения этой системы имеют характеристические показатели удовлетворяющие неравенству

Аналогично определяется экспоненциальная устойчивость нетривиального решения. А именно, решение экспоненциально устойчиво, если близкие к нему при решения удовлетворяют неравенству

где некоторые положительные постоянные.

Лемма. Если тривиальное решение однородной линейной системы

с постоянной матрицей А асимптотически устойчиво при то эта система экспоненциально устойчива, т. е. каждое ее решение экспоненциально устойчиво при

Доказательство. Как известно (гл. II, § 8), тривиальное решение системы (4.8.2) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда все характеристические корни матрицы А имеют отрицательные вещественные части:

Положим

Тогда при получим (гл. I, § 13)

где некоторая положительная постоянная. Из уравнения (4.8.2) для любого решения находим

где начальный момент произволен.

Следовательно, на основании (4.8.3) при получаем

Отсюда для любого решения однородной системы (4.8.2), учитывая, что разность есть решение этой системы, при будем иметь

что и требовалось доказать.

Замечание. Для линейной системы с переменными коэффициентами из асимптотической устойчивости ее тривиального решения, вообще говоря, не следует экспоненциальная устойчивость.

Пример. Для скалярного уравнения

его общее решение имеет вид

Таким образом, решение этого уравнения асимптотически устойчиво при однако не является экспоненциально устойчивым.

Теорема. Если существует положительно определенная квадратичная форма

производная которой в силу приведенной системы (4.7.1)

удовлетворяет неравенству

где

— отрицательно определенная квадратичная форма (А и В — постоянные симметрические матрицы), то тривиальное решение этой системы экспоненциально устойчиво при

Доказательство (см. [16]). На основании формул (4.8.4) и (4.8.6) получаем

и

где

и, соответственно,

причем и

Отсюда на основании неравенства (4.8.5) выводим

Интегрируя это неравенство, будем иметь при

где . Далее, используя евклидову норму

при находим

т. е. при

где

и достаточно мала.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление