Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 9. Теорема Персидского

Имеются многочисленные работы (см. [16]), посвященные обращению теорем Ляпунова, т. е. выяснению необходимости условий этих теорем. Мы изложим здесь один старый результат в этой области, принадлежащий Персидскому (см. [43]). Теорема Персидского. Пусть приведенная система

где

допускает тривиальное решение устойчивое по Ляпунову при Тогда для системы в области

существует функция Ляпунова -го рода, т. е. удовлетворяющая условиям первой теоремы Ляпунова об устойчивости.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную систему

где причем скалярная функция, удовлетворяющая условиям:

Пусть — решения, соответственно, систем и определяемые начальными условиями:

Из условий (4.9.1) вытекает, что решения можно считать определенными на полуоси и обладающими свойством единственности.

Фиксируя рассмотрим функцию

где норма вектора понимается в смысле евклидовой нормы:

Пусть и Тогда на основании условия (4.9.1) правые части систем и совпадают и, следовательно, для полных производных функции в силу систем и имеем

где

Рис. 35.

Но точка лежит на траектории проходящей через точку и вследствие теоремы единственности точка ее выхода на гиперплоскость совпадает со следом траектории (рис. 35), т. е.

при

Таким образом, из формулы (4.9.3) получаем

при т. е. производная в силу системы знакоотрицательна.

Покажем, что функция положительно определенная в области Так как тривиальное решение как системы так и системы устойчиво по Ляпунову, то существует такое, что при имеем

если только Тогда, если то

Действительно, если бы

то

Отсюда, полагая мы бы имели

что противоречит выбору (рис. 36).

Кроме того, на основании формулы (4.9.1) в силу свойства единственности решений системы имеем

Из формулы (4.9.2) получаем

Полагая получим последовательность положительных чисел таких, что

Рис. 36.

Отсюда следует, что существует непрерывная положительно определенная функция удовлетворяющая неравенству

Например, можно положить

при

Следовательно, функция положительно определенная. На основании известной теоремы о гладкости решения по начальным данным функция непрерывна по совокупности переменных и имеет непрерывные частные

производные и причем

при .

Теорема доказана.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление