Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 10. Устойчивость квазилинейных систем

Рассмотрим действительную дифференциальную систему

где А — постоянная матрица и причем равномерно по т. е.

( евклидова норма вектора ).

Систему будем называть квазилинейной; очевидно, эта система допускает тривиальное решение

Теорема Ляпунова. Если все собственные значения матрицы А имеют отрицательные вещественные части:

то тривиальное решение квазилинейной системы асимптотически устойчиво по Ляпунову при

Доказательство (см. [10]). Пусть действительное решение соответствующей линейной системы определяемое начальным условием:

Если нормированная фундаментальная матрица (матрицант) системы такая, что

то, очевидно, имеем

Из условия (4.10.2) вытекает (см. гл. 1, § 13), что

где некоторая положительная постоянная. Отсюда

Рассмотрим функцию

Из (4.10.3), используя известные свойства скалярного произведения, имеем

где

а транспонированная матрица относительно матрицы Таким образом, представляет собой квадратичную форму относительно переменных с действительной симметрической матрицей

На основании неравенства (4.10.4) интеграл в правой части равенства (4.10.6) сходится и, следовательно, функция определена и конечна для каждой точки х причем в силу свойства единственности решений системы имеем

и

Используя так называемое групповое свойство решений автономной системы (b) (рис. 37)

получим

Отсюда производная по времени функции в точке х в силу системы будет равна

Рис. 37.

Найдем теперь производную по времени функции в точке х в силу системы Имеем

Полагая

из формулы (4.10.6) находим

Отсюда

Кроме того, из условия (4.10.1) получаем

при где произвольно мало. Следовательно, из формулы (4.10.8), учитывая соотношение (4.10.7) и используя неравенство Коши, имеем

если только причем

Таким образом, для системы в некоторой окрестности точки О существует положительно определенная функция не зависящая от времени и допускающая отрицательно определенную производную в силу этой системы.

На основании второй теоремы Ляпунова (§ 4) тривиальное решение системы асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова при

Следствие. В условиях теоремы тривиальное решение экспоненциально устойчиво при (см. теорему из § 8).

Замечание. Доказательство теоремы можно получить также с помощью метода вариации произвольной постоянной, исходя из формулы

и применяя неравенство Гронуолла-Беллмана (ср. с теоремой 2 из § 12 гл. II).

Из теоремы Ляпунова, в частности, вытекают достаточные условия устойчивости состояния равновесия. Пусть нелинейная автономная система имеет вид

где

Если

то есть состояние равновесия системы (4.10.11). Положим

Тогда

где

— матрица Якоби.

Принимая отклонение вектора у от положения равновесия за новую переменную, будем иметь

На основании теоремы Ляпунова имеем следующий результат. Теорема. Если все собственные значения матрицы Якоби имеют отрицательные вещественные части, то состояние равновесия нелинейной автономной системы (4.10.11) асимптотически устойчиво по Ляпунову при

Рис. 38.

Пример. Уравнение нелинейных колебаний маятника в сопротивляющейся среде имеет вид

где угловая координата (рис. 38), положительные постоянные. Отсюда получаем систему

Исследуем устойчивость состояния равновесия: системы (4.10.13). Вводя обозначения

будем иметь

и

Следовательно,

Отсюда получаем характеристическое уравнение

Так как то для характеристического уравнения выполнено условие следовательно, исследуемое состояние равновесия асимптотически устойчиво.

Теорема неустойчивости. Пусть квазилинейная система

где постоянная матрица и такова, что

Если хотя бы одно собственное значение матрицы А обладает положительной вещественной частью, то тривиальное решение этой системы неустойчиво по Ляпунову при

Доказательство (см. [6]). Без нарушения общности рассуждения можно положить

и

где . Пусть S - постоянная неособенная матрица, приводящая матрицу А к почти треугольному виду (см. следствие 2 теоремы 2 из § 6 гл. 1), т. е.

где при причем положительное число может быть выбрано сколь угодно малым.

Произведем в системе (4.10.14) замену переменной:

где — положительное число такое, что

а матрица и вектор у, вообще говоря, комплексные. Тогда будем иметь

т. е.

где матрица не имеет собственных значений с нулевой вещественной частью и

Так как

то

если

где произвольно мало.

Полагая

и

систему (4.10.16) можно записать в координатной форме

где Отсюда, переходя к комплексно-сопряженным величинам, получим

Пусть

Так как

то из уравнений (4.10.18) и (4.10.19) будем иметь

где (т.е. величина порядка равномерно относительно ) в области (4.10.17). Полагая

при достаточно малом находим

Следовательно, при получаем

т. е.

если только

Пусть произвольно мало. Выберем так, чтобы выполнялись неравенства

(этого можно добиться, положив, например, ). Тогда из неравенства (4.10.20) вытекает, что существует момент такой, что

Возвращаясь к прежней переменной в силу формулы (4.10.15) будем иметь и

где фиксировано. Так как произвольно мало, то отсюда следует, что тривиальное решение квазилинейной системы (4.10.14) неустойчиво по Ляпунову при Теорема доказана.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление