Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 12. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению

Рассмотрим действительную нелинейную систему

где

причем

и непрерывная положительная функция при такая, что

Норма матрицы здесь понимается в смысле I нормы (гл. I, § 4):

Теорема (критерий Ляпунова). Если система первого приближения

правильная (см. гл. 111, § 11) и все ее характеристические показатели отрицательны, причем выполнено условие нелинейности (4.12.2), то тривиальное решение полной нелинейной системы (4.12.1) экспоненциально устойчиво по Ляпунову при

Рис. 40.

Доказательство (см. [14]). Пусть

В системе (4.12.1) выполним преобразование

где (рис. 40). Тогда будем иметь

где

и

причем

Легко видеть, что для системы система первого приближения

правильная. Действительно, пусть характеристические показатели линейной системы (4.12.9). Очевидно,

Учитывая правильность системы (4.12.3) и формулу (4.12.7), имеем

Следовательно, система (4.12.9) правильная.

Пусть нормированная фундаментальная матрица системы (4.12.9) Используя метод вариаций произвольных постоянных, нелинейное дифференциальное уравнение (4.12.6) при начальных условиях: можно заменить равносильным интегральным уравнением

где

Согласно локальной теореме существования решений, для любой пары где существует решение дифференциального уравнения (4.12.6), а следовательно, и интегрального уравнения (4.12.10), удовлетворяющее начальному условию:

определенное в некотором интервале причем и число I, вообще говоря, зависит от решения

Так как все характеристические показатели линейной системы (4.12.9) отрицательны, то существует положительная постоянная такая, что

Кроме того, на основании оценки матрицы Коши для правильной системы с отрицательными характеристическими показателями (§ 11, следствие) имеем

при .

Далее, на основании формул (4.12.8) и (4.12.2) при получаем

где достаточно большая положительная постоянная. Отсюда, оценивая по норме при левую и правую части интегрального уравнения (4.12.10), будем иметь

или

Выберем положительное число столь мальш, чтобы имело место неравенство

Тогда из неравенства (4.12.13) при выводим

где

Из неравенства (4.12.14), используя лемму Бихари (следствие 2 из § 2 гл. II), находим

если только

Так как

то неравенство (4.12.16) всегда можно считать выполненным за счет выбора окрестности начальных данных Из формулы (4.12.15) следует, что если достаточно мало, то при любом точка является внутренней точкой области следовательно, решение бесконечно продолжаемо вправо, т. е. можно положить Таким образом, в бесконечном промежутке выполнено неравенство

где некоторая постоянная, зависящая от начального момента

Возвращаясь к переменной х, в силу формулы (4.12.5) при будем иметь

где постоянная А достаточно мала.

Отсюда следует, что тривиальное решение нелинейной системы (4.12.1) экспоненциально устойчиво по Ляпунову при

Теорема доказана.

Следствие. Любое решение нелинейной дифференциальной системы - (4.12.1) с начальными данными принадлежащими достаточно малой окрестности имеет характеристический показатель, удовлетворяющий неравенству

где характеристические показатели соответствующей линейной системы (4.12.3).

Действительно, из неравенства (4.12.18) получаем

а так как число — может быть выбрано сколь угодно близким к то отсюда следует неравенство (4.12.19).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление