Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 13. Признак устойчивости для нелинейных систем с неправильной линейной частью

Рассмотрим действительную линейную однородную систему

где и пусть характеристические показатели.

Определение. Число

называется мерой неправильности системы (4.13.1) (см. [15]). В силу неравенства Ляпунова (гл. III, § 7)

из формулы (4.13.2) получаем

Очевидно, что система (4.13.1) правильная тогда и только тогда, когда

Обобщением критерия Ляпунова для неправильных систем занимался Н. Г. Четаев. Мы приведем результат Массера (см. [44]), обобщающий теорему Ляпунова (§ 12) и Четаева (см. [15]). Теорема Массера. Пусть дана нелинейная система

где причем Если

где положительная функция такая, что

2) для характеристических показателей линейного приближения (4.13.1) выполнено неравенство

где мера неправильности соответствующей линейной системы (4.13.1),

то тривиальное решение нелинейной системы (4.13.3) асимптотически устойчиво по Ляпунову при Доказательство. Пусть

где (рис. 41)

Положим

где нормированная фундаментальная матрица линейной системы

Рис. 41.

В силу (4.13.3) имеем

Отсюда, учитывая, что

получим

где

Как известно,

где

и соответствующие алгебраические дополнения определителя . На основании формулы Остроградского — Лиувилля, учитывая, что находим

Следовательно,

Отсюда

и

Так как

то

Следовательно,

Положим

Тогда на основании формулы (4.13.5) получим

Оценим нелинейный член в правой части уравнения (4.13.6) при Используя условие 1), имеем

где в силу неравенств (4.13.8) и (4.13.9) и свойств характеристических показателей справедлива оценка:

Отсюда на основании неравенства (4.13.4) получаем

Следовательно,

Таким образом, нелинейная система (4.13.6) удовлетворяет условиям теоремы Ляпунова об устойчивости квазилинейных систем (§ 10) и, следовательно, тривиальное решение ее асимптотически устойчиво при . В силу формулы (4.13.5) и неравенства (4.13.9) это будет верно также для тривиального решения исходной нелинейной системы (4.13.3).

Следствие. Для характеристических показателей решений где достаточно мала, справедлива оценка:

Действительно, из формулы (4.13.5), учитывая неравенство (4.13.9) и ограниченность функции получаем

А так как число можно брать сколь угодно близким к то справедливо неравенство (4.13.13).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление