Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 14. Неограниченная продолжаемость решений

Рассмотрим действительную систему

где

Для произвольного решения справедливы две возможности: 1) либо имеет смысл на бесконечном промежутке тогда оно будет неограниченно продолжаемым вправо; 2) либо определено лишь на некотором конечном промежутке

Лемма. Если решение имеет конечное время определения то

Доказательство. Пусть при Тогда существует последовательность такая,

при Рассмотрим решение определенное, согласно локальной теореме существования решений (см. [11]), в некотором интервале

В силу свойства единственности решений, при имеем

и

Так как может быть выбрано сколь угодно близко к и то при достаточно большом точки и сколь угодно близки между собой (см. рис. 42).

Рис. 42.

А тогда на оснований свойства интегральной непрерывности (гл. II, § 1) получим, что решение определено во всяком случае на промежутке . А это противоречит максимальности промежутка существования решения при Таким образом, при Лемма доказана.

Следствие. Если решение ограничено в своем максимальном промежутке существования то оно бесконечно продолжаемо вправо, т. е.

Неограниченная продолжаемость вправо решений системы (4.14.1) является необходимым условием устойчивости по Ляпунову решений этой системы. Используя функции, аналогичные функциям Ляпунова (§ 5, замечание 2), можно получить остаточные условия неограниченной продолжаемости при решений системы (4.14.1).

Следуя Ла-Саллю [45], рассмотрим дифференциальное неравенство

где некоторая непрерывная скалярная функция, определенная при и непрерывно дифференцируемая положительная скалярная функция.

Будем говорить, что решение неравенства (4.14.2) имеет конечное время определения если:

Теорема Ла-Салля.

Рис. 43.

Пусть

— внешность сферы радиуса и

причем при равномерно на каждом конечном промежутке Тогда, если

1) производная по в силу системы (4.14.1) при и удовлетворяет неравенству

где непрерывная скалярная функция;

2) соответствующее скалярное неравенство (4.14.2) не имеет положительных решений с конечным временем определения, то каждое решение системы (4.14.1) неограниченно продолжаемо вправо.

Доказательство. Допустим, что некоторое решение системы (4.14.1) имеет конечное время определения Тогда в силу леммы при следовательно, при где решение целиком будет содержаться в некоторой области (рис. 43), где Кроме того, можно предполагать, что при Но тогда на основании неравенства (4.14.3) функция

является положительным решением скалярного неравенства (4.14.2)

с конечным временем определения . А это невозможно в силу условия 2) теоремы. Теорема доказана. Следствие. Пусть

где и скалярные функции, непрерывные при Если

то неравенство (4.14.2) не имеет положительных решений с конечным временем определения.

Действительно, пусть существует положительное решение неравенства

такое, что Из неравенства (4.14.4) находим

Отсюда при получаем, что левая часть неравенства (4.14.5) стремится к , а правая — ограничена, что, очевидно, невозможно. Следовательно, каждое положительное решение неравенства (4.14.4) или имеет смысл лишь на некотором конечном промежутке причем при или же оно определено на бесконечном промежутке Пример. Рассмотрим действительную систему (см. [45])

где

Если

при где неотрицательная скалярная функция, все решения системы (4.14.6) неограниченно продолжаемы вправо. Действительно, положим

Отсюда

Используя неравенство Коши (гл. I, § 5) и неравенство (4.14.7), будем иметь

при . Но неравенство

в силу следствия не имеет положительных решений с конечным временем определения. Следовательно, на основании теоремы Ла-Салля каждое решение системы (4.14.6) имеет смысл при

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление