Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 15. Устойчивость по Лагранжу

Рассмотрим систему

где Очевидно, система (4.15.1) обладает свойством единственности решений

Определение. Будем говорить, что система (4.15.1) устойчива по Лагранжу (см. [12], [45]), если: 1) каждое решение где неограниченно продолжаемо вправо, т. е. имеет смысл при ограничена на

Например, если система (4.15.1) имеет ограниченное решение к] асимптотически устойчивое в целом (§ 7), то эта система устойчива по Лагранжу.

Используя функции Ляпунова, нетрудно сформулировать необходимые и достаточные условия устойчивости системы (4.15.1) по Лагранжу (см. [41], [46]).

Теорема. Для того чтобы система (4.15.1) была устойчива по Лагранжу, необходимо и достаточно, чтобы в существовала функция такая, что

2) для каждого решения функция была невозрастающей относительно переменной

Замечание. Для случая достаточности условие 2) можно заменить следующим:

2) в силу системы (4.15.1).

Доказательство. 1) Докажем сначала достаточность условий теоремы. Пусть для системы (4.15.1) существует функция обладающая свойствами 1) и 2). Для всякого решения в силу условия 2) при имеем

Отсюда на основании условия 1) получаем

Из последнего неравенства следует, что решение ограничено. Действительно, если это не так, то нашлась бы последовательность моментов времени такая, что

и, следовательно,

вопреки неравенству (4.15.2). Таким образом, решение неограниченно продолжаемо вправо и

при .

Замечание. Для этой части теоремы не требуется выполнения свойства единственности решений.

2) Докажем теперь необходимость условий теоремы. Пусть любое решение системы (4.15.1) существует и ограничено на промежутке следовательно, бесконечно продолжаемо при Положим

где

Рис. 44.

Из формулы (4.15.4) имеем

причем, очевидно, при т. е. условие выполнено.

Далее, при учитывая, что в силу свойства единственности решение является продолжением решения (рис. 44), получаем

Таким образом, условие 2) также выполнено, Теорема доказана полностью.

Замечание. Непрерывность функции здесь не гарантируется.

Пример. Рассмотрим скалярное дифференциальное уравнение (см. [46])

где

Если выполнены условия: 1)

то решения уравнения (4.15.5) ограничены на вместе со своими производными

Действительно, запишем уравнение (4.15.5) в виде системы

Положим

На основании неравенства 1) имеем

причем при

Далее,

Отсюда

Таким образом, условия теоремы выполнены и, следовательно, ограничены на промежутке

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление