Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 16. Системы с конвергенцией

Рассмотрим систему

где

Определение. Обобщая определение В. А. Плисса (см. [47]), будем говорить, что система (4.16.1) обладает свойством конвергенции, если

1) все решения определены при

2) существует единственное решение определенное и ограниченное на всей оси, т. е.

3) решение асимптотически устойчиво в целом при (см. § 7), т. е. для любого решения имеем

Можно сказать, что в некотором смысле является предельным режимом системы (4.16.1).

Очевидно, если система (4.16.1) обладает свойством конвергенции, то все ее решения предельно (финально) ограничены при (см. § 17), т. е. существует положительное число такое, что

В частности, например, можно принять

Замечание. Если правая часть конвергентной системы -периодична по то ограниченное решение также -периодично по Действительно, пусть

Рассмотрим вектор-функцию Имеем

Таким образом, также является решением системы (4.16.1) и притом ограниченным на . А так как система

с конвергенцией обладает единственным ограниченным на решением, то

т.е. есть -периодическое решение системы (4.16.1). Лемма 1. Пусть

где А - постоянная -матрица и -матрица

Если

1) все характеристические корни матрицы А имеют отрицательные действительные части

2) вектор-функция ограничена на

то система (4.16.2) обладает свойством конвергенции, причем

представляет собой единственное ограниченное на I, решение системы (4.16.2).

Доказательство. Из условия (4.16.3) имеем

где и Отсюда получаем

Следовательно, интеграл (4.16.4) сходится и функция ограничена, причем

Дифференцируя формулу (4.16.4) по параметру I, получим

и, таким образом, является решением системы (4.16.2).

То, что ограниченное решение системы (4.16.2) единственно, следует из того обстоятельства, что разность двух ограниченных решение неоднородной системы (4.36.2) является ограниченным решением соответствующей однородной системы

не имеющей нетривиальных решений, ограниченных на всей оси

Действительно, если другое решение неоднородной системы (4.16.2), ограниченное на оси то при любом имеем

Отсюда

Так как

то, фиксируя и переходя к пределу при в неравенстве (4.16.5), получим

т. е.

и, таким, образом, других, кроме , ограниченных на решений система (4.16.2) не имеет.

Если любое решение неоднородной системы (14.6.2), то, учитывая, что разность удовлетворяет однородной системе получим

отсюда

при следовательно,

Таким образом, устойчива в целом при значит, система коивергентна.

Приведем одно достаточное условие конвергентности нелинейной системы. Для этого нам понадобятся две леммы, представляющие также самостоятельный интерес.

Лемма 2 (см. [48]). Пусть действительная вектор-функция,

— симметризованная матрица Якоби (см. гл. 1, § 10), а и ее наименьший и наибольший характеристические корни.

Тогда для скалярного произведения справедлива оценка:

где

и

Доказательство. Полагая

имеем

Отсюда

Так как

то, очевидно (гл. I, § 5), имеем

и

Поэтому из формулы (4.16.7) вытекает неравенство (4.16.6). Лемма 3 (см. [48], [49]). Пусть

где и выполнено свойство единственности решений, причем при и любом все решения входят внутрь цилиндра при возрастающем (рис. 45), т. е.

в силу системы (4.16.8).

Рис. 45.

Тогда существует по меньшей мере одно решение системы (4.16.8), определенное для всех и целиком содержащееся в цилиндре

т. е. ограниченное на всей оси

Доказательство. Рассмотрим последовательность трубок решений определяемых начальными условиями: где Так как решения при входят в цилиндр и остаются в нем, то они бесконечно продолжаемы вправо, т. е. имеют смысл при —

Пусть сечение трубки начальной гиперплоскостью . В силу свойства интегральной непрерывности (гл. II, § 1) множества замкнуты. Так как решения при содержатся внутри цилиндра то

и, следовательно, на основании свойства единственности, значения составляют часть начальных значений трубки Поэтому для каждого

трубка целиком содержится в трубке и поэтому для системы замкнутых множеств будем иметь

Следовательно, на основании принципа вложенных сфер для системы существует общая точка

где Рассмотрим решение

Так как то существует решение такое, что . В силу свойства единственности имеем

и, следовательно, определено при — Отсюда ввиду произвольности натурального числа получаем, что решение имеет смысл на всей оси причем

Лемма доказана.

Теорема (см. 148]). Пусть дана действительная система

где

причем

— симметризованная матрица Якоби.

Если

2) наибольший характеристический корень симметрической матрицы для всех удовлетворяет неравенству

где — положительное число,

то система (4.16.9) обладает свойством конвергенции.

Доказательство. Положим

На основании системы (4.16.9) имеем

Отсюда

Применяя лемму 2 и используя неравенство (4.16.10), получим

Далее, в силу неравенства Коши (гл. I, § 5) и условия 1) имеем

Таким образом,

если

Следовательно, все решения при входят внутрь цилиндра и по лемме 3 существует решение системы определенное и ограниченное на -причем

Пусть любое решение системы (4.16.9), определяемое начальным условием: Положим

и

Так как

то на основании леммы 2 имеем

Отсюда при получаем

т. е.

Следовательно, асимптотически устойчиво в целом (§ 7), причем устойчивость экспоненциальная (§ 8). Из неравенства (4.16.11) следует также единственность ограниченного на оси решения (ср. конец доказательства леммы). Таким образом, система (4.16.9) — конвергентна. Следствие 1. Пусть

где причем матрица Якоби.

Если

2) наибольший из характеристических корней симметризованной матрицы Якоби

удовлетворяет неравенству

где положительная постоянная, то система (4.16.12) обладает свойством конвергенции.

Следствие 2. Пусть

где

Если

2) наибольший из характеристических корней симметризованной матрицы

удовлетворяет неравенству

где — положительная постоянная,

то система (4.16.13) обладает свойством конвергенции.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление