Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. Жорданова форма матрицы

Пусть квадратная матрица порядка и

— ее характеристическое или вековое уравнение [4], [5]. В раскрытом виде имеем

Обозначим через корни характеристического уравнения (1.6.1) (характеристические корни или собственные значения матрицы ). Можно доказать (см. приложение), что с помощью преобразования подобия

матрица может быть приведена к квазидиагональной форме Жордана

где

— так называемые клетки Жордана, причем каждому характеристическому корню кратности соответствует одна или несколько клеток Жордана размерами такие, что

Легко убедиться, что каждой клетке Жордана порядка с точностью до нулевого скалярного множителя отвечает один и только один собственный вектор матрицы А, имеющий в надлежащем базисе вид

где

причем различным клеткам Жордана соответствуют линейно независимые собственные векторы. Поэтому постоянная так называемая степень вырождения соответствующего собственного значения представляет собой максимальное число линейно независимых собственных векторов матрицы соответствующих X

В общем случае Если степень вырождения характеристического корня X равна его кратности, т. е. то, очевидно, Таким образом, в этом случае все соответствующие клетки Жордана будут содержать по одному элементу (простые клетки). Так как

то характеристический полином может быть представлен в виде

где характеристические числа матрицы А, соответствующие различным клеткам Жордана (не обязательно различные между собой).

Множители называются элементарными делителями матрицы А, а натуральные числа размеры (порядки) клеток Жордана) — показателями элементарных делителей, соответствующих характеристическому числу или линейному множителю

Если все характеристические числа имеют простые элементарные делители то матрица Жордана будет чисто диагонального вида:

причем числа не обязательно различны. Это обстоятельство, например, имеет место для симметрической матрицы (см. [4]).

Заметим, что, вообще говоря, характеристические числа X — комплексные и, следовательно, в общем случае как матрица преобразования так и матрица Жордана имеют комплексные элементы. Если ограничиться действительными преобразованиями, то соответствующая модифицированная матрица Жордана имеет более сложный вид (см. [4]).

Можно доказать, что форма Жордана обладает свойством единственности, т. е. данную матрицу с помощью преобразования подобия (1.6.2) можно привести только к единственной форме Жордана, с точностью до порядка клеток, и, в частности, размеры набора клеток Жордана не зависят от выбора матрицы 5 (см. [4], [5]). Например, форма Жордана матрицы А будет полностью определена, если упорядочить ее характеристические числа а клетки Жордана, соответствующие одному и тому же характеристическому числу, расположить в порядке возрастания их размеров.

Пусть т.е. существует неособенная матрица такая, что

Отсюда

Теорема 1. Подобные матрицы имеют одинаковые формы Жордана (с точностью до порядка клеток).

Доказательство. Действительно, из формулы (1.6.3) имеем

отсюда

и, следовательно, характеристические полиномы матриц а значит, и их собственные значения совпадают между собой.

Кроме того, если

где J - форма Жордана, то

Таким образом, есть также форма Жордана матрицы В. Следствие. Собственные значения матрицы А и ее элементарные делители являются инвариантами для преобразований подобия (1.6.3). Отметим еще один полезный результат. Теорема 2. Верхняя треугольная матрица

где первый косой ряд отличен от нуля, т. е.

подобна соответствующей клетке Жордана

Доказательство. Покажем, что существует неособенная матрица такая, что

где первый единичный косой ряд (см. § 1), или

(см. скан)

Приравнивая соответствующие элементы третьих диагоналей матриц и находим

где Отсюда последовательно определяются элементы

Аналогично находятся все остальные элементы матрицы Так как на основании (1.6.8) имеем то матрица — неособенная и, следовательно, теорема доказана.

Следствие 1. Если матрица А имеет вид

где и верхние треугольные матрицы специальной формы

то числа суть собственные значения матрицы А, причем если

то размеры клеток представляют собой показатели элементарных делителей матрицы А.

Следствие 2. Всякую квадратную матрицу А с помощью преобразования подобия

можно привести к почти диагональному вису

где при сколь угодно мало (см. [6]).

Действительно, матрица А подобна матрице

где характеристические корни матрицы соответствующие клетки Жордана. Так как в силу теоремы 2 имеем

где

то, очевидно, матрица А подобна матрице

обладающей нужным свойством,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление