Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 17. Диссипативные системы

Рассмотрим действительную нелинейную систему

где причем обеспечено свойство единственности решений

Определение 1. Следуя Левинсону (см. [50]), систему (4.17.1) будем называть -системой или диссипативной, если все решения ее бесконечно продолжаемы вправо и существует число такое, что

Иными словами, для каждого решения существует момент после которого оно навсегда погружается в фиксированную сферу т. е.

Заметим, что если система обладает свойством конвергенции (§ 16), то она диссипативна. Здесь за сферу можно принять любую сферу, содержащую единственное ограниченное решение

Решения диссипативной системы иногда называются предельно (финально) ограниченными (см. [41]).

Пусть

где

Определение 2. Будем говорить (см. [41]), что обладает свойством А в области если, существует положительная непрерывная возрастающая функция такая, что

Говорят, что обладает свойством В в области если существует непрерывная неубывающая функция такая, что

причем при

Наконец, будем говорить, что обладает в области свойством С относительно данной системы (4.17.1), если существует положительная непрерывная функция такая, что

где полная производная по функции в силу системы (4.17.1).

Теорема Йосидзавы (см. [41]). Пусть во внешности некоторого цилиндра у,

где для системы (4.17.1) существует функция Ляпунова обладающая свойствами Тогда система (4.17.1) равномерно диссипативна относительно начального момента т. е. число можно выбрать зависящим только от

Доказательство. Из условия В вытекает, что при где достаточно велико, функция является положительной. Так как по смыслу теоремы вместо числа очевидно, можно взять число то в дальнейшем мы будем предполагать функцию положительной, в

Рассмотрим решения с начальными условиями и

Покажем, что эти решения равномерно ограничены в совокупности. Действительно, промежуток существования решения можно разбить на два множества:

где совокупность всех моментов из для которых решение соответственно, принадлежит области при и области при Если то, очевидно, имеем

Если множество пусто, то тем самым наше утверждение доказано. Пусть не пусто. Тогда, так как область есть открытое множество, то в силу свойства интегральной непрерывности (гл. II, § 1) является также открытым множеством и, следовательно (см. [51]), представляет собой конечную или счетную сумму интервалов

где . Отсюда, если то Для некоторого а (рис. 46) и, учитывая монотонное убываниефункции при возрастании , а также свойства будем иметь

Так как при то существует такое, что

В таком случае на основании неравенства (4.17.7) получаем

Из неравенств (4.17.6) и (4.17.8) вытекает, что

Отсюда следует, что решение бесконечно продолжаемо вправо, т. е. причем для всех имеет место неравенство (4.17.9), где зависит только от

Рис. 46.

Рассмотрим теперь произвольное решение где (Рис. 46). Покажем, что и в этом случае при неизменно обеспечено неравенство (4.17.9).

Прежде всего, заметим, что если для некоторого момента времени будет выполнено неравенство

то в силу свойства единственности имеем

Отсюда на основании неравенства (4.17.9) получаем

Поэтому достаточно предположить, что при Но тогда в силу свойств имеем

и

где достаточно велико. Отсюда получаем

где зависит только от т. е. любое решение ограничено на равномерно относительно начального момента следовательно, бесконечно продолжаемо вправо.

Покажем, что для некоторого момента будет справедливо равенство

Действительно, пусть

Положим

Тогда, учитывая неравенство (4.17.12), в силу свойства С будем иметь

Следовательно,

Из неравенства (4.17.13) вытекает, что при достаточно большом функция становится отрицательной, причем что противоречит предположению. Таким образом, решение не может для всех удовлетворять неравенству (4.17.12) и, следовательно, при некотором выполнено равенство (4.17.11). Отсюда на основании приведенных выше рассуждений вытекает наличие неравенства (4.17.10). Итак, система (4.17.1) диссипативна.

Оценим момент Полагая

из неравенства (4.17.13) выводим

В силу свойства А имеем

Кроме того, на основании свойства В получаем

Поэтому

где

Так как число не зависит от начального момента то диссипативность системы (4.17.1) равномерна по

Замечание. Можно ослабить условия гладкости для функции Ляпунова . А именно, для справедливости теоремы достаточно требовать, чтобы

В этом случае производную в силу системы (4.16.1) можно определить формулой

Легко проверить, что представляет собой верхнюю правую производную по функции в точке

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление