Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 18. Уравнения в вариациях

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

где

Пусть решение системы (4.18.1), удовлетворяющее условию: Положим

Тогда будем иметь

Отсюда, применяя теорему о среднем, получим

где при равномерно на каждом конечном отрезке Линейная система

представляющая линеаризированную систему (4.18.3), называется уравнениями в вариациях (см. [35], [28]) для системы (4.18.1) относительно ее решения (система первого приближения). Заметим, что если данная система линейная

то ее уравнения в вариациях совпадают с соответствующей однородной системой

Лемма. Если система (4.18.1) автономная

и есть ее решение, то

является решением ее уравнений в вариациях.

Доказательство. Дифференцируя по тождество

будем иметь

что и доказывает утверждение леммы.

Предположим теперь, что -периодична по и исследуемое решение также периодично и имеет период Тогда уравнения в вариациях (4.18.4) представляют собой линейную систему с периодическими коэффициентами.

Теорема Ляпунова. Если все характеристические показатели уравнения в вариациях для данного периодического решения имеют отрицательные вещественные части, то это периодическое решение асимптотически устойчиво при

Доказательство (см. [28]). Согласно теории Флоке (гл. III, § 15) система (4.18.4) имеет нормированную фундаментальную матрицу вида

где -периодическая матрица и постоянная матрица, причем характеристические показатели являются собственными значениями матрицы

В нелинейной системе (4.18.3) сделаем замену переменной

Тогда, учитывая, что

будем иметь

или

где

Отсюда на основании теоремы Ляпунова для квазилинейных систем (§ 10) заключаем, что тривиальное решение системы (4.18.7) асимптотически устойчиво, что в силу формулы (4.18.6) эквивалентно асимптотической устойчивости периодического решения

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление