§ 19. Орбитальная устойчивость

Рассмотрим действительную автономную систему

где

Определение Если есть решение системы (4.19.1), то совокупность точек фазового пространства называется траекторией решения.

Траектория представляет собой проекцию интегральной кривой пространства у в пространство где время играет роль параметра.

Так как система (4.19.1) автономна, то наряду с решением она допускает семейство решений которые, очевидно, обладают одной и той же траекторией.

Под как обычно, будем понимать расстояние точки до множества , т. е.

В дальнейшем для решения иногда придется рассматривать множество точек которые будем называть положительной полутраекторией. Аналогично определяется отрицательная полутраектория

Определение 2. Решение системы (4.19.1) называется (см. [52]) орбитально устойчивым если положительные траектории всех решений достаточно близких в начальный момент к решению в дальнейшем целиком содержатся в -окрестности положительной полутраектории данного решения где произвольно мало (рис. 47), т. е. для любого существует такое, что если

то

Рис. 47.

Замечание. В силу свойства интегральной непрерывности наличие орбитальной устойчивости решения не зависит от выбора начального момента поэтому она эквивалентна орбитальной устойчивости траектории.

Более того, если решение орбитально устойчиво и для решения при выполнено неравенство

где — число, определяемое неравенством (4.19.2), то при имеет место неравенство (4.19.3). Действительно, полагая

и учитывая, что также решение автономной системы (4.19.1), будем иметь

отсюда

т. е.

Определение 3. Орбитально устойчивое решение называется асимптотически орбитально устойчивым, если существует такое, что для всех решений удовлетворяющих неравенству

выполнено предельное соотношение

Таким образом, если замкнутая орбитально устойчивая траектория, то достаточно близкие к ней при траектории навиваются на нее при

Замечание. Из устойчивости решения, очевидно, следует его орбитальная устойчивость. Но из орбитальной устойчивости решения, вообще говоря, не вытекает устойчивость его по Ляпунову, а тем более асимптотическая устойчивость.

Пример 1. Рассмотрим скалярную систему

Полагая будем иметь

Траекториями на плоскости здесь являются:

а) правые полупрямые при

б) левые полупрямые при

в) точки при

Очевидно, любое решение данной системы неустойчиво по Ляпунову при Однако траектории типов а) и б) орбитально устойчивы.

Пример 2. Пусть периодическое решение с периодом автономной системы (4.19.1), не сводящейся к постоянной Тогда такое решение не может быть асимптотически устойчивым.

Действительно, полагая, что

так как то при любом достаточно малом будем иметь

Отсюда, учитывая -периодичность решения при произвольном получаем

и, следовательно, при Однако орбитальная устойчивость периодического решения и даже асимптотическая орбитальная устойчивость могут иметь место.

Лемма 1. Если автономная система (4.19.1) имеет нетривиальное -периодическое решение то для соответствующих уравнений в вариациях

представляющих собой линейную периодическую систему, по меньшей мере один из ее мультипликаторов т. е. по крайней мере один из характеристических показателей системы (4.19.5) является нулевым.

Доказательство. Согласно лемме из § 18 система (4.19.5) допускает -периодическое решение

Поэтому периодическая система (4.19.5) имеет по крайней мере один мультипликатор

(гл. III, § 15). Отсюда, беря главное значение логарифма, получаем, что соответствующий характеристический показатель будет нулевым:

Определение 4. Будем говорить, что решение имеет свойство асимптотической фазы (см. [52], [28]), если для каждого решения удовлетворяющего начальному неравенству (4.19.4), где достаточно мало, существует число (асимптотическая фаза) такое, что

Лемма 2. Орбитально устойчивое решение с асимптотической фазой асимптотически орбитально устойчиво.

Доказательство. Действительно, при имеем

Отсюда на основании условия (4.19.6) получаем

что и требовалось доказать.