Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 20. Аналог теоремы Андронова-Витта

В этом параграфе будут установлены достаточные условия орбитальной устойчивости периодического решения автономной системы. Предварительно докажем три леммы (см. [28]). Лемма 1. Пусть действительная периодическая система

где имеет один мультипликатор модули всех остальных ее мультипликаторов меньше единицы:

Тогда для системы (4.20.1) существует фундаментальная матрица специального вида

где действительная неособенная -периодическая непрерывно дифференцируемая -матрица, действительная постоянная -матрица, все характеристические корни которой имеют отрицательные действительные части:

Доказательство. Пусть нормированная фундаментальная матрица системы (4.20.1). Так как матрица -периодическая, то справедливо соотношение

В силу условия теоремы для матрицы монодромии одно из ее собственных значений равно 1, а все другие по модулю меньше 1. Поэтому существует действительная неособенная матрица А такая, что

где действительная матрица типа все характеристические числа которой по модулю меньше 1. Тогда, вводя действительную фундаментальную матрицу

на основании соотношений (4.20.3) и (4.20.4) будем иметь

Для матрицы из (4.20.5) построим основную матрицу (обобщение, § 15 гл. III)

и пусть

где

Согласно теореме Флоке имеем

где неособенная -периодическая матрица. Отсюда на основании формулы (4.20.6) получим

где

Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Пусть действительная фундаментальная матрица системы (4.20.1) вида (4.20.2) и

где единичная матрица соответствующего порядка. Тогда матрица обладает следующими свойствами:

где постоянные;

4) вектор-функция

где — произвольный постоянный вектор с нулевой первой координатой, т. е.

и

является решением неоднородной системы

стремящимся к нулю при

Доказательство. Свойства 1) и 2) непосредственно вытекают из формулы (4.20.8).

В силу структуры матрицы имеем

и

где - периодическая матрица. Следовательно,

и

Так как все характеристические корни матрицы С, имеют отрицательные действительные части, а матрица ограничена вместе с матрицей полагая

получим оценки 3).

Рассмотрим теперь функцию определяемую формулой (4.20.9). Так как при то имеем

и, следовательно, несобственный интеграл, стоящий в правой части равенства (4.20.9), является абсолютно сходящимся. Записав формулу (4.20.9) в виде

и дифференцируя по параметру используя свойства 1) и 2), находим

т. е.

и, таким образом, является решением неоднородной системы (4.20.10). Законность дифференцирования под знаком интеграла легко проверить.

Учитывая структуру матрицы будем иметь

Кроме того, на основании неравенства 3) получаем

если Поэтому

Следовательно,

Лемма 2 полностью доказана.

Лемма 3. Пусть дана нелинейная система

где - периодическая матрица удовлетворяет условиям леммы 1, а нелинейная вектор-функция -периодична по и удовлетворяет условию Липшица по

причем

Рассмотрим интегральное уравнение

где фундаментальная матрица соответствующей однородной системы (4. 20.1), имеющая специальный вид (4.20.2), определяется формулой (4.20.8) и — произвольный постоянный вектор такой, что

Тогда, если константа Липшица достаточно мала, то при и интегральное уравнение (4.20.13) имеет решение представляющее собой -параметрическое семейство решений дифференциальной системы (4.20.11), обращающихся в нуль на бесконечности

Доказательство. В силу формулы (4.20.2) при справедлива оценка

где некоторая положительная постоянная и

Предположим, что постоянная из леммы 2 и константа Липшица удовлетворяет условию

Применяя метод последовательных приближений, покажем, что если

то интегральное уравнение (4.20.13) при имеет решение

причем

За начальное приближение примем как обычно, положим

Так как то в силу неравенства (4.20.15) при имеем

Пусть теперь

тогда в силу (4.20.18), учитывая неравенство (4.20.16) и оценку 3) для (см. лемму 2), будем иметь

Таким образом, на основании принципа математической индукции заключаем, что все приближения имеют смысл и для них справедлива оценка (4.20.19). Отсюда, так как

то существует

причем сходимость последовательности равномерна в области

и, значит, предельная функция непрерывна по совокупности переменных при достаточно малой

Переходя к пределу при в равенстве (4.20.18), получаем

т.е. в области является решением интегрального уравнения (4.20.13). Отсюда, дифференцируя по последнее соотношение и используя свойства функции будем иметь

т. е. в области есть решение нелинейной дифференциальной системы (4.20.11).

Далее, из неравенств (4.20.19) выводим

Следовательно,

в частности, при имеем

Лемма 3 доказана.

Рассмотрим теперь действительную автономную систему

где и пусть -периодическое ее решение такое, что Уравнения в вариациях здесь имеют вид

Аналог теоремы Андронова-Витта (см. [52], [28]). Пусть автономная система (4.20.21) допускает -периодическое

решение не являющееся тождественной постоянной причем уравнения в вариациях (4.20.22) для этого решения имеют один простой нулевой характеристический показатель, а все остальные — с отрицательными действительными частями. Тогда периодическое решение асимптотически орбитально устойчиво при

Более того, для каждого близкого к решения существует асимптотическая фаза, т. е. если достаточно мало и

для некоторых то найдется постоянная такая, что

Доказательство (см. [28]). 1) Выберем новую прямоугольную систему координат начало которой О находится в точке , а первая ось икеет направление, определяемое вектором (рис. 48).

Рис. 48.

Тогда система (4.20.21) примет вид

где снова

Периодическое решение при этом перейдет в периодическое решение обладающее следующими свойствами:

где

Уравнения в вариациях, соответственно, будут иметь вид

причем, очевидно, характеристические показатели периодический системы (4.20.26) совпадают с характеристическими показателями системы в вариациях (4.20.22). Согласно лемме 1 для системы (4.20.26) существует действительная фундаментальная матрица вида

где Из формулы (4.20.27) вытекает, что первый столбец матрицы представляет собой -периодическое решение уравнения (4.20.26). Так как является -периодическим решением уравнений в вариациях (4.20.26) (см. § 18) и в силу условия теоремы это решение единственно, с точностью до скалярного постоянного множителя, то можно принять

где матрица типа причем

Положим

Тогда уравнение (4.20.24) примет вид

где

Так как

то

и

Отсюда следует, что удовлетворяет условию Липшица:

где константа Липшица сколь угодно мала, если число достаточно мало. Пусть

— любой вектор, перпендикулярный орту

В силу леммы 3 при нелинейная система (4.20.30) допускает непрерывное по а многообразие решений

норма которых подчинена неравенству (4.20.20). Эти решения удовлетворяют интегральному уравнению

где аналогично (4.20.2) имеем

причем

2) Установим связь между начальными значениями решения и параметром а. Из уравнения (4.20.32), полагая и учитывая формулы (4.20.33), имеем

где интеграл справа сходится абсолютно и равномерно по параметру а при

Используя формулу (4.20.29), получаем

Отсюда, полагая

и переходя в векторном уравнении (4.20.34) к координатам, будем иметь систему скалярных уравнений

где соответствующие элементы матрицы и

(символ обозначает первую компоненту соответствующего вектора), причем непрерывна при Так как матрица неособенная, то из структуры формулы (4.20.29) следует, что

где

Поэтому последние уравнений системы (4.20.35) можно разрешить относительно координат и мы будем иметь

где некоторые постоянные.

Подставляя эти выражения в первое уравнение системы (4.20.35), находим

где некоторые постоянные и результат подстановки параметров в функцию В силу формулы (4.20.20) имеем:

Кроме того, из соотношений (4.20.31) вытекает неравенство

где при Поэтому, учитывая ограниченность матрицы получаем

и, следовательно, на основании (4.20.36) будем иметь

где

Пусть

— начальные значения некоторого решения преобразованной автономной системы (4.20.24). Так как

и

то уравнение (4.20.37) имеет вид

где функция непрерывна, если достаточно мало, причем

В пространстве уравнение (4.20.39) представляет собой некоторую непрерывную поверхность (рис. 48), определенную в окрестности точки О и однозначную относительно координаты обладающую тем свойством, что из ее точек при выходят траектории системы (4.20.24), неограниченно приближающиеся к замкнутой периодической траектории т. е. такие, что

Заметим, что из уравнения (4.20.39) и формулы (4.20.38) вытекает, что функция дифференцируема в точке причем уравнение касательной плоскости в этой точке выражается линейной частью:

Обозначая через угол между единичным вектором нормали к плоскости в точке О и вектором из уравнения (4.20.40) будем иметь

Следовательно, периодическая траектория пересекает поверхность не касаясь ее, и, значит, переходит с одной стороны поверхности на другую. А так как поверхность непрерывна и задана явным уравнением (4.20.39), то близкие к ней траектории при возрастании или убывании имеют с поверхностью общие точки.

3) Пусть для некоторых и решение системы (4.20.21) в системе координат удовлетворяет неравенству

где А — некоторое достаточно малое положительное число. В силу автономности системы (4.20.21) вектор-функции

и

также являются ее решениями, причем, очевидно, выполнено неравенство

Для периодической траектории в точке построим непрерывную поверхность 50 со свойствами, аналогичными свойствам поверхности которую траектория пересекает без касания при Следовательно, близкие к ней при траектории удовлетворяющие неравенству (4.20.41), где А достаточно мало, также пересекают поверхность при возрастающем или при убывающем в некоторый момент Так как траектория не вырождается в точку, то момент можно выбрать равномерно ограниченным для траекторий, подчиненных начальному условию (4.20.41), т. е.

где некоторое положительное число. Отсюда, полагая

получаем

В силу свойства поверхности имеем

т. е.

Отсюда находим

где

— предельная фаза решения . В частности, если то

Возвращаясь к старым координатам получим, что соответствующее решение системы (4.20.21) удовлетворяет условию (4.20.23).

Так как величина может быть выбрана равномерно ограниченной в каждой начальной окрестности (4.20.41), то решение является орбитально устойчивым, причем в силу наличия предельной фазы эта устойчивость асимптотическая (см. лемму 2 из § 19). Теорема доказана полностью.

Для сравнения приводим формулировку теоремы Андронова — Витта (см. [52а], [10]).

Теорема Андронова — Витта. Пусть -периодическое решение автономной системы (4.20.21) не сводится к тождественной постоянной причем уравнения в вариациях для этого решения имеют один простой нулевой характеристический показатель, а все остальные характеристические показатели обладают отрицательными действительными частями. Тогда решение устойчиво в смысле Ляпунова при

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление