Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 21. Признак Пуанкаре

Рассмотрим автономную скалярную систему

где Пусть система (4.21.1) имеет -периодическое решение

траектория которого на плоскости не сводится в точку: Тогда соответствующая система в вариациях

допускает нетривиальное -периодическое решение

Пусть нормированная фундаментальная матрица линейной системы (4.21.3). Мультипликаторы этой системы являются корнями уравнения

Отсюда

Так как система в вариациях (4.21.3) имеет нетривиальное -периодическое решение, то в силу леммы 1 (§ 19) один из ее мультипликаторов

Отсюда по свойству корней квадратного уравнения имеем

Но в силу формулы Остроградского — Лиувилля, обозначая через матрицу системы (4.21.3), получим

Поэтому справедлив признак Пуанкаре: если

то

и периодическое решение асимптотически орбитально устойчиво, т. е. траектория его является устойчивым предельным циклом (см. [52]) и близкие к нему решения обладают асимптотической фазой.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление