Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 22. Условная устойчивость

Определение. Говорят, что решение n-мерной дифференциальной системы

условно устойчиво при если в существует -мерное многообразие начальных значений (1 такое, что для всякого решения подчиненного условию:

будет выполнено неравенство

Условная устойчивость называется асимптотической, если, сверх того,

где

( — некоторая положительная постоянная). Рассмотрим квазилинейную систему

где А — постоянная матрица, имеющая характеристических корней с отрицательными действительными частями, причем равномерно по

Обобщенная теорема Ляпунова (см. [13], [28]). Пусть матрица А имеет характеристических корней с отрицательными действительными частями и характеристических корней с неотрицательными действительными частями, причем вектор-функция непрерывна по при и удовлетворяет по условию Липшица:

где при Тогда тривиальное решение системы (4.22.2) условно асимптотически устойчиво относительно некоторого -мерного многообразия начальных значений.

Доказательство. Без нарушения общности рассуждения можно принять Положим

где действительная неособенная матрица С такова, что

причем

и

Тогда система (4.22.2) примет вид

где

Полагая

очевидно, имеем

если только где Пусть произвольно мало и таково, что

Тогда, очевидно, справедливы неравенства

и

где К — некоторая достаточно большая положительная постоянная.

Положим

где единичные матрицы соответствующих порядков. Очевидно,

Из неравенств (4.22.6), учитывая, что

получаем

Кроме того, очевидно, имеем

Рассмотрим сингулярное интегральное уравнение

где

и постоянный вектор, последних координат которого равны нулю. Для решения интегрального уравнения (4.22.9) применим метод последовательных приближений, полагая

и

Выберем число А столь малым, чтобы было выполнено неравенство

и пусть

Тогда, учитывая первое из неравенств (4.22.6) при будем иметь

Пусть

Из формулы (4.22.10), используя неравенства (4.22.8), выводим

Отсюда заключаем, что все приближения имеют смысл, причем неравенство (4.22.11) выполнено для всех натуральных Следовательно,

на при причем предельная вектор-функция непрерывна по совокупности переменных при

Переходя к пределу при в формуле (4.22.10), будем иметь

т. е. предельная функция является решением интегрального уравнения (4.22.9). Дифференцируя последнее равенство по параметру находим

т. е.

и, значит, является решением системы дифференциальных уравнений (4.22.4).

Используя неравенства (4.22.11), получаем

Отсюда

Таким образом, при представляет собой многообразие решений дифференциальной системы (4.22.4), непрерывно зависящее от параметров первых координат вектора а и стремящихся к нулю при

Из уравнения (4.22.12), учитывая структуру (4.22.7) матрицы для координат решения при будут иметь следующие выражения:

и

где обозначает компоненту соответствующего вектора.

Рис. 49.

Поэтому в окрестности начала координат О эти начальные значения удовлетворяют системе уравнений

которые определяют в пространстве некоторое -мерное многообразие начальных значений, порождающее решения при

Возвращаясь к прежним переменным

получим, что аналогичное утверждение справедливо для решений исходной системы (4.22.2).

Следствие. Пусть матрица А имеет характеристических корней с отрицательной действительной частью и характеристических корней с положительной действительной частью, причем условие Липшица (4.22.3) для выполнено для всех и константа Липшица достаточно мала. Тогда в некоторой окрестности точки О пространства существуют многообразия и (рис. 49), соответственно, измерений такие, что для решений системы справедливы предельные соотношения:

Упражнения к главе IV

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление