Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА V. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. Равномерная сходимость семейства функций

Пусть имеется бесконечное семейство комплекснозначных вектор-функций действительной переменной

зависящих от действительного параметра X и, определенное на некотором множестве причем значения функции

Определение. Говорят (см. [7]), что при семейство (5.1.1) равномерно по сходится к предельной вектор-функции т. е.

если для существует такое, что

при

Теорема. Для того чтобы семейство функций (5.1.1) при равномерно на множестве сходилось к предельной вектор-функции необходимо и достаточно, чтобы из каждой последовательности где можно было бы выделить равномерно сходящуюся подпоследовательность

Доказательство. Необходимость условий теоремы ясна, так как в случае равномерной сходимости семейства при к предельной вектор-функции каждая последовательность где очевидно, также будет равномерно сходиться к

Докажем достаточность условий теоремы. Пусть семейство не является равномерно сходящимся при к общей предельной вектор-функции всех последовательностей где Тогда существует такое, что для любого

найдется значение параметра обладающее следующими свойствами:

и

Из неравенств (5.1.5) и (5.1.6) вытекает, что из последовательности нельзя выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся к вектор-функции и мы приходим к противоречию. Теорема доказана.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление