Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Теорема Арцеля

Определение 1. Семейство вектор-функций называется равномерно ограниченным, если существует постоянная такая, что

где любая функция семейства.

Определение 2. Семейство вектор-функций называется равностепенно непрерывным на множестве если для 30 общее для всего семейства, т. е. такое, что для каждой вектор-функции семейства выполнено неравенство

если только

Пример. Вектор-функции обладающие равномерно ограниченными производными на промежутке образуют равностепенно непрерывное семейство.

Действительно, предполагая, например, что норма вектора — евклидова, на основании теоремы Лагранжа, примененной к каждой компоненте, имеем

если только

Теорема Арцеля. Из каждого бесконечного семейства вектор-функций равномерно ограниченного и

равностепенно непрерывного на конечном промежутке можно выделить равномерно сходящуюся на последовательность

Доказательство (см. [9], [51]). Рассмотрим счетное всюду плотное множество точек на промежутке например множество рациональных точек. Множество значений бесконечно и ограничено и, следовательно, .из него можно выделить сходящуюся последовательность Далее, множество значений также бесконечно и ограничено и, значит, допускает сходящуюся последовательность где числа являются частью чисел Продолжая рассуждение, получим счетное множество вложенных последовательностей

из которых первая сходится в точке вторая — в точках т. д.

Рассмотрим диагональную последовательность

Так как для любого при члены диагональной последовательности образуют подпоследовательность последовательности сходящейся в точке то диагональная последовательность сходится в каждой точке

Докажем теперь, что диагональная последовательность сходится равномерно на всем промежутке

Пусть произвольно. На основании равностепенной непрерывности семейства вектор-функций можно определить число соответствующее числу у. Так как промежуток конечен и множество всюду плотно на то найдется конечная система точек представляющая собой -сеть на т. е. такая, что каждая точка будет содержаться в -окрестности одной из точек На этой конечной системе точек диагональная последовательность (5.2.3) сходится и, следовательно, для нее выполнен критерий Коши, причем, ввиду конечности числа точек,

равномерно относительно данных точек. Иными словами, найдется число такое, что при

Пусть произвольная точка промежутка и ближайшая точка -сети, т. е.

Тогда в силу равностепенной непрерывности функций и выбора числа имеем

и

Далее, при получаем

Следовательно,

Таким образом, для последовательности выполнено условие критерия Коши и, значит, эта последовательность равномерно на сходится к некоторой предельной вектор-функции т. е.

Так как члены последовательности непрерывны, то предельная функция непрерывна на промежутке Теорема доказана.

Следствие. Пусть семейство вектор-функций равномерно ограничено и равностепенно непрерывно на бесконечном интервале Тогда из этого семейства можно выделить последовательность сходящуюся на интервале к непрерывной вектор-функции равномерно на каждом конечном промежутке

Это проверяется непосредственно путем последовательного применения теоремы Арцеля к системе расширяющихся конечных промежутков

исчерпывающей весь интервал

Замечание. Равномерной сходимости выделенной последовательности на всем интервале в общем случае гарантировать нельзя.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление