Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Теорема Красносельского и Крейна

Пусть

— вектор-функция, определенная в области

и имеющая значения

Определение. Будем говорить, что данная вектор-функция интегрально непрерывна в по параметру X в точке сгущения если для любых и имеет место предельное соотношение

Замечание. Условие интегральной непрерывности не эквивалентно обычной непрерывности. Например, функция

не является в области непрерывной по X при Однако эта функция интегрально непрерывна по X при так как для каждого отрезка имеем

Теорема Красносельского и Крейна (см. [55]). (Обобщение теоремы о переходе к пределу под знаком интеграла.) Пусть

2) равномерно по совокупности переменных в 2, т. е. для такое, что для любых справедливо неравенство

если только

3) в интегрально непрерывна по параметру X в точке сгущения т. е. при любых и справедлива формула (5.3.2).

Тогда, если семейство вектор-функций, кусочно-непрерывных по на со значениями при и причем

то

Рис. 50.

Доказательство (см. [55]). 1) Докажем сначала, что формула (5.3.2) справедлива для любой кусочно-постоянной вектор-функции где при причем

Пусть

Имеем

Переходя к пределу при в этом равенстве и учитывая условие (5.3.2), при получаем

2) Пусть теперь для вектор-функции выполнено условие (5.3.3). Рассмотрим произвольно малое число и выберем Так как равномерно непрерывна по х в области то существует такое, что

при если только и Из равномерной сходимости семейства к вектор-функции следует, что

при

Наконец, ввиду кусочной непрерывности предельной вектор-функции найдется кусочно-постоянная вектор-функция такая, что

при (рис. 51). Для имеем

Так как вектор-функция кусочно-постоянная, то в силу формулы (5.3.5) при любом фиксированном окрестность можно выбрать так, чтобы

при

Рис. 51.

Далее, на основании неравенства (5.3.6), учитывая неравенства (5.3.7) и (5.3.8), получаем

и

Таким образом, из (5.3.9) и (5.3.10) имеем

если принять где Следовательно,

для любого

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление