Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Теорема Н. Н. Боголюбова

Пусть в области -область) определена нелинейная система

зависящая от малого положительного параметра где

причем равномерно ограничена в

( — евклидова норма).

Теорема Боголюбова (см. [56]). Пусть 1) для каждого существует равномерный по х конечный предел

2) усредненное уравнение

имеет единственное решение определенное при на сегменте Тогда для каждого существует такое, что решение данного уравнения (5.4.1) и решение усредненного уравнения (5.4.4) с одинаковыми

начальными условиями при будут удовлетворять неравенству

на некотором отрезке где

Доказательство. Пусть расстояние начальной точки от границы области Тогда в силу неравенства (5.4.2) решение уравнения (5.4.1) с начальным условием: будет определено по меньшей мере в промежутке (см. [12]). Примем

Введем «медленное время»

В таком случае уравнения (5.4.1) и при можно записать следующим образом:

и

Если положить

то функция будет в интегрально непрерывна по параметру при Действительно, на основании условия (5.4.3) при и х имеем

Записывая уравнения (5.4.6) и (5.4.7) в интегральной форме при получим

и

Отсюда, полагая

будем иметь, что уравнение (5.4.8) справедливо при

Рассмотрим семейство решений где Это семейство равномерно ограничено на так как в силу неравенства (5.4.2), учитывая, что при из уравнения (5.4.8) получаем

Кроме того, данное семейство является равностепенно непрерывным по на ввиду того, что на основании уравнений (5.4.6) и (5.4.7) производная равномерно ограничена на (см. пример из § 2).

В силу теоремы Арцеля из каждой последовательности где можно выделить равномерно сходящуюся на подпоследовательность

Очевидно, имеем

Переходя к пределу при в этом равенстве и используя теорему Красносельского — Крейна, получим

Отсюда

и . Так как уравнение (5.4.7) в силу условия теоремы при имеет единственное решение удовлетворяющее начальному условию: то

Следовательно, из любой последовательности

где можно выбрать подпоследовательность равномерно сходящуюся на к одной и той же предельной вектор-функции На основании теоремы § 1 отсюда следует, что семейство решений при равномерно на сходится к решению усредненного уравнения (5.4.7), т. е.

Возвращаясь к прежней переменной окончательно получим

что и требовалось доказать.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление