Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Принцип сжатых отображений

Пусть есть совокупность элементов (точек) произвольной природы (абстрактное пространство).

Определение 1. Множество называется метрическим пространством (см. [51]), если для любой пары точек определена числовая функция (расстояние) со следующими свойствами (аксиомами):

1) причем тогда и только тогда, когда х = у;

2) (симметрия);

(неравенство треугольника).

Пример 1. Совокупность действительных упорядоченных -мерных комплексов где

является метрическим пространством -мерное евклидово пространство

Пример 2. Пусть — совокупность ограниченных вектор-функции где конечный или бесконечный промежуток. Для любых к, положим

где одна из рассмотренных выше норм (гл. I, §4). Тогда пространство метрическое.

Действительно, выполнение аксиом 1) и 2) очевидно. Пусть теперь Для любого имеем

Отсюда

и, таким образом, третья аксиома также выполнена.

Определение 2. Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной, если для нее выполнен критерий Коши, т. е. для такое, что при имеем

Очевидно, неравенство (5.5.1) эквивалентно следующему:

Пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность его является сходящейся в т. е. из условия (5.5.1) следует, что такая, что

В этом случае пишут и точку I называют пределом последовательности

Пример 3. Пространство функций из примера 2 является полным.

Действительно, пусть -фундаментальная последовательность из т. е.

Отсюда

если только Таким образом, для последовательности вектор-функций на выполнен критерий Коши. Следовательно, эта последовательность сходится на т. е. существует

Переходя к пределу при в неравенстве получаем

при

Отсюда следует, что сходимость равномерная:

и так как вектор-функции непрерывны на то Кроме того, учитывая, что вектор-функции ограничены:

из неравенства (5.5.3) при фиксированном находим

Поэтому также ограничена и, значит, что и доказывает полноту пространства

Определение 3. Пусть любому элементу по определенному правилу А ставится в соответствие элемент Тогда говорят, что

есть оператор, определенный на множестве X со значениями из (действующий из ).

Множество X называется линейным пространством (см. [51]), если для любых определены операции: 1) сложения и 2) умножения на скаляр с обычными свойствами. Например, таковым является векторное пространство (гл. I, § 5).

Оператор А называется линейным, если он определен в линейном пространстве X и имеет значения, принадлежащие также линейному пространству причем для любых имеем

Пример 4. Оператор ставящий в соответствие каждой функции ее производную называется оператором дифференцирования. Легко проверить, что этот оператор линейный.

Пусть где метрическое пространство и оператор, не обязательно линейный, действующий из

Определение 4. Оператор А называется непрерывным, если для любого существует такое, что из неравенства следует неравенство

Определение 5. Отображение

называется сжатым (или сжимающим) в если для любых точек выполнено условие:

где число удовлетворяет неравенству

Замечание. Сжатое отображение непрерывно.

Действительно, для данного выбирая неравенства (5.5.4), будем иметь: если

А это и означает, что непрерывно.

Теорема (принцип сжатых отображений). Всякое сжатое отображение

в полном метрическом пространстве имеет одну и только одну неподвижную точку, т. е. для сжатого отображения А существует единственная точка такая, что

Доказательство [51]. Пусть Рассмотрим последовательность

где Из формулы (5.5.6) вытекает, что

Отсюда при любом имеем

если где достаточно велико. Следовательно, последовательность фундаментальная, а так как пространство полное, то существует

Переходя к пределу при в равенстве (5.5.7) и учитывая непрерывность оператора А, будем иметь

или

Таким образом, есть неподвижная точка отображения (5.5.5). Эта неподвижная точка единственная. Действительно, пусть

где Из равенств (5.5.5) и (5.5.9) получаем

Отсюда

что невозможно.

Теорема доказана.

Замечание. В условиях теоремы неподвижная точка преобразования (5.5.5), т. е. решение операторного уравнения (5.5.6), может быть найдена методом последовательных приближений (5.5.7), исходя из произвольного начального значения

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление