Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. Сингулярные интегральные уравнения типа Вольтерра

Рассмотрим систему сингулярных интегральных уравнений

где

— искомый -вектор;

— известный -вектор; непрерывные -матрицы;

— постоянный -вектор с координатами некоторое достаточно большое число.

Для краткости положим,

и

Тогда систему (5.6.1) можно записать в следующем виде:

Будем считать переменные действительными, а матрицы и вообще говоря, комплексными.

Теорема. Пусть матрица имеет непрерывные ограниченные элементы каждой из областей

и

(рис. 52), а матрица непрерывна и абсолютно интегрируема на ), причем вектор-функция непрерывна и ограничена на Тогда если достаточно велико, система интегральных уравнений (5.6.1) при допускает единственное непрерывное ограниченное решение

Рис. 52.

Доказательство. Пусть совокупность всех ограниченных вектор-функций где Расстояние между функциями определим формулой

Тогда будет представлять полное метрическое пространство (§ 5, примеры 2 и 3).

В R рассмотрим линейный оператор

Если считать, что значения берутся из соответствующей области то матрица в силу условия теоремы является ограниченной, т. е.

Поэтому для учитывая, что в силу формулы (5.6.3) и абсолютной интегрируемости матрицы имеем

Нетрудно убедиться также, что Следовательно, если то

Покажем, что отображение сжатое. В самом деле, для имеем

и

Отсюда

и, следовательно,

В силу абсолютной интегрируемости матрицы число можно выбрать столь большим, чтобы имело место неравенство

Тогда из неравенства (5.6.5) получим

т. е.

где Таким образом, отображение является сжатым.

Согласно принципу сжатых отображений (§ 5) в существует единственное решение уравнения

т. е. система интегральных уравнений (5.6.1) допускает единственное непрерывное решение ограниченное на промежутке

Теорема доказана.

Замечание. Решение может быть найдено обычным методом последовательных приближений:

где

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление