Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Асимптотика L-диагональных систем

Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений

где

и т. е. измерима (например, кусочно-непрерывна) и

причем интеграл (5.7.2) понимается или в элементарном смысле, или в смысле интеграла Лебега. В уравнении (5.7.1) искомый вектор х и матрицы будем считать, вообще говоря, комплексными.

Будем предполагать, что элементы диагональной матрицы асимптотически разделены, т. е. выполнено условие А: величина

для всех не меняет знака на где которое число, которое можно предполагать произвольно большим.

Это означает, что кривые

не пересекаются при причем касание их не возбраняется (рис. 53). Из условия А следует, что для каждой пары существует конечный или бесконечный интеграл

Система (5.7.1) называется -диагональной. Такими системами занимались Шпет [57] и Перрон [58] при и Левин-сон [59] при переменной.

Рис. 53.

Изучим поведение решений системы (5.7.1) при причем в основном будем придерживаться изложения Рапопорта [60]. Пусть

Фиксируя индекс в системе (5.7.1), произведем замену переменных

Имеем

Отсюда, учитывая, что скалярная функция, получаем

Введем матричную функцию

являющуюся нормированным при решением однородной системы

удовлетворяющим начальному условию:

Рассмотрим систему сингулярных интегральных уравнений

где

причем координаты вектора а выбираются следующим образом:

(коротко, ), то полагают где конечно;

2) если же

(коротко, то принимают ).

Непрерывное решение системы интегральных уравнений (5.7.9) удовлетворяет дифференциальному уравнению (5.7.6). Действительно, дифференцируя равенство (5.7.9) по параметру и учитывая формулу (5.7.8), будем иметь

Так как

то уравнение (5.7.12) совпадает с дифференциальным уравнением (5.7.6).

Докажем, что система интегральных уравнений (5.7.9) удовлетворяет условиям теоремы из § 6. Для этого достаточно показать, что элементы строк матрицы

ограничены в областях: при при Действительно, если то из (5.7.10) имеем

причем Следовательно,

Пусть теперь тогда значит,

Если

то, очевидно,

Если

то в силу неравенства (5.7.11) получаем

Таким образом,

в каждой из областей

Следовательно, если таково, что выполнено неравенство

то при существует непрерывное ограниченное решение интегрального уравнения (5.7.9), которое (см. замечание к теореме из § 6) можно, согласно методу последовательных приближений, изобразить в виде абсолютно и равномерно сходящегося ряда

где

и

Из уравнения (5.7.9), учитывая, что имеем оценку:

отсюда, используя неравенство (5.7.13), получаем

и, поэтому

при

Докажем, что

Полагая

из уравнения (5.7.9) получаем

где символ Кронекера.

Если то, очевидно, значит, При будем иметь

Так как для как указано выше, выполнено неравенство

то, выбирая достаточно большим, при имеем

Фиксируя и учитывая, что

при получаем

если

Следовательно, из формулы (5.7.17) находим

и, значит,

Если же то на основании формулы (5.7.16), учитывая ограниченность подынтегральной функции при имеем

Таким образом, равенство (5.7.15) доказано. Следовательно,

где

Возвращаясь к переменной в силу формулы (5.7.5) получаем, что -диагональная система (5.7.1) имеет систему решений вида

Эта система будет фундаментальной, так как при достаточно большом очевидно, детерминант Вронского

Ввиду того, что линейная система (5.7.1) для каждого начального условия допускает единственное решение, определенное в промежутке фундаментальную систему (5.7.18) можно однозначно продолжить на промежуток

Следствие. Если для -диагональной системы (5.7.1) существуют пределы

то эта система является правильной, причем совокупность чисел представляет собой ее полный спектр.

Действительно, на основании формулы (5.7.18) будем иметь

Кроме того, так как

то система (5.7.1) правильная (гл. III, §§ 7 и 11) и есть ее спектр.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление