Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 9. Приведение линейной системы к L-диагональному виду

Рассмотрим линейную систему

где

Теорема. Пусть 1) матрица допускает конечный предел на бесконечности

причем предельная матрица имеет различные собственные значения; 2) производная и матрица абсолютно интегрируемы на

Тогда система (5.9.1) в области с помощью регулярного линейного преобразования

может быть приведена к -диагоналтому виду

где

и

Замечание. Если производная абсолютно интегрируема на то существует предел (5.9.2). Действительно, имеем

Отсюда в силу критерия Коши существует

Таким образом, условия 1) и 2) не являются вполне независимыми.

Доказательство (см. [60]). Пусть регулярная матрица, приводящая матрицу к диагональному виду:

Такая матрица существует на основании леммы о диагонализации переменной матрицы (см. § 8). Положим

Из уравнения (5.9.1) имеем

Отсюда

где диагональная матрица (5.9.6) и

Так как матрицы и ограничены, то из формулы (5.9.7) вытекает, что

где и положительные постоянные.

Если матрицы и абсолютно интегрируемы на то абсолютно интегрируема на (см. § 8) и, следовательно,

Таким образом,

Так как матрица ограничена, то из формулы (5.9.6) следует, что также ограничена. Теорема доказана полностью. Пример [60]. Рассмотрим скалярное уравнение

где причем Уравнение (5.9.8) можно записать в виде системы

где Рассмотрим характеристическое уравнение

его корни будут

Построим матрицу

приводящую матрицу системы (5.9.9)

к диагональному виду. Так как собственные векторы

ортогональны к матрице то при имеем

Отсюда можно принять

Аналогично при получаем

значит, можно положить

Следовательно, матрица имеет вид

Обычным способом находим обратную матрицу

Кроме того,

Записав систему (5.9.9) в виде

положим

Отсюда

или, после упрощений,

Система (5.9.11) является -диагональной, причем выполнено свойство А:

Имеем

Так как

Следовательно, для фундаментальной матрицы системы (5.9.11) справедлива асимптотическая формула

где

Возвращаясь к прежним переменным х и у и учитывая ограниченность функции , для системы (5.9.9) получим фундаментальную матрицу

где

Полагая

получим фундаментальную матрицу вида

где при причем в силу первого из уравнений имеем

Таким образом, уравнение (5.9.8) имеет при общее решение асимптотического вида

где - произвольные постоянные и

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление