Макеты страниц § 10. Теорема БоляВ этом параграфе мы установим некоторые достаточные условия существования ограниченного на всей оси Предварительно докажем одну лемму (см. [61]). Лемма. Пусть
где
Тогда существует матрица 1) 2)
представляет собой единственное ограниченное на Доказательство. С помощью неособенной постоянной
где характеристические числа матрицы
а характеристические числа матрицы
Положим
Очевидно, имеем
и, таким образом, свойство 1) выполнено. Далее, полагая
и
получим
и
где
где
Аналогично из формулы (5.10.4) получим
Следовательно, имеет место свойство 3). Наконец, из неравенства (5.10.5) выводим
Поэтому интеграл (5.10.2) сходится для любого
то, формально дифференцируя по параметру
Дифференцирование законно, так как несобственные интегралы, полученные в результате формального дифференцирования, сходятся равномерно на каждом конечном интервале Итак,
Следовательно, решение То, что ограниченное решение
является решением однородной системы
единственным ограниченным на Таким образом, свойство 4) также выполнено. Следствие. Для ограниченного решения
где постоянная Замечание. Если свободный член
то ограниченное решение Действительно, на основании формулы (5.10.2) имеем
Теорема Боля (см. [62]). Пусть дана действительная система
где 1)
3) выполнено условие Липшица
то при достаточно малой константе Липшица 1) существует решение 2) в пространстве имеются многообразия
и
Доказательство. 1) Принимая
где
и
На основании условия 2) имеем
Выберем число
В пространстве
рассмотрим оператор
Так как при
то при
Отсюда
Если выбрать константу Липшица
то из неравенства (5.10.14), учитывая, что
Таким образом, при Для функций
Тогда Убедимся теперь, что при условии (5.10.15) отображение Ту
и
используя условие Липшица 3), получим
Отсюда
где
в силу неравенства (5.10.15). Таким образом, выполнены все условия принципа сжатых отображений (§ 5) и, следовательно, существует непрерывное ограниченное на
Решение
2) В системе (5.10.8) положим
Тогда будем иметь
где
Очевидно, имеем
и
причем
Отсюда на основании теоремы об условной устойчивости (гл. IV, § 22) заключаем о существовании многообразий Замечание. Теорема остается в силе, если предположить, что условие Липшица выполнено лишь в области: Следствие 1. Если Действительно, в этом случае из равенства
получаем
Отсюда
Следовательно,
а так как
т. е.
что и требовалось доказать. Следствие 2. Если для всех характеристических чисел
то система (5.10.8) конвергентна (гл. IV, § 16). Действительно, в этом случае ограниченное решение
Упражнения к главе V (см. скан) (см. скан)
|
Оглавление
|