§ 10. Теорема Боля

Макеты страниц

§ 10. Теорема Боля

В этом параграфе мы установим некоторые достаточные условия существования ограниченного на всей оси решения дифференциальной системы.

Предварительно докажем одну лемму (см. [61]). Лемма. Пусть

где постоянная -матрица, причем и

Тогда существует матрица имеющая следующие свойства:

1) , где единичная -матрица,

2) , где — положительные постоянные;

представляет собой единственное ограниченное на решение системы (5.10.1).

Доказательство. С помощью неособенной постоянной -матрицы матрицу А можно привести к следующему виду:

где характеристические числа матрицы имеют положительные вещественные части:

а характеристические числа матрицы имеют отрицательные вещественные части:

Положим

Очевидно, имеем Кроме того,

и, таким образом, свойство 1) выполнено. Далее, полагая

получим

где некоторые положительные постоянные. Отсюда вытекает свойство 2):

где — положительная постоянная. Дифференцируя по формулу (5.10.3), будем иметь

Аналогично из формулы (5.10.4) получим

Следовательно, имеет место свойство 3).

Наконец, из неравенства (5.10.5) выводим

Поэтому интеграл (5.10.2) сходится для любого причем сходимость равномерна на каждом конечном интервале Так как

то, формально дифференцируя по параметру будем иметь

Дифференцирование законно, так как несобственные интегралы, полученные в результате формального дифференцирования, сходятся равномерно на каждом конечном интервале

Итак, является решением системы (5.10.1). Оценивая по норме, на основании (5.10.6) будем иметь

Следовательно, решение ограничено на действительной оси —

То, что ограниченное решение единственно, следует из того, что для двух ограниченных на решений их разность

является решением однородной системы

единственным ограниченным на -решением которой является тривиальное решение

Таким образом, свойство 4) также выполнено. Следствие. Для ограниченного решения системы (5.10.1) справедлива оценка

где постоянная зависит только от матрицы А (см. (5.10.7)).

Замечание. Если свободный член системы (5.10.1) есть -периодическая вектор-функция:

то ограниченное решение также -периодично.

Действительно, на основании формулы (5.10.2) имеем

Теорема Боля (см. [62]). Пусть дана действительная система

где постоянная -матрица, . Если

1) , причем при при

3) выполнено условие Липшица

то при достаточно малой константе Липшица

1) существует решение системы (5.10.8), определенное и ограниченное на всей оси

2) в пространстве имеются многообразия соответственно, измерений тип — такие, что решения системы (5.10.8) обладают свойствами:

Доказательство. 1) Принимая за свободный член, по аналогии с формулой (5.10.2), рассмотрим интегральное уравнение

где функция, определенная в лемме. В силу свойств 1), 2), 3) и 4) функции непрерывное ограниченное решение интегрального уравнения (5.10.11) является также решением дифференциального уравнения (5.10.8). Пусть

На основании условия 2) имеем

Выберем число такое, что

В пространстве непрерывных и ограниченных на вектор-функций где

рассмотрим оператор определяемый правой частью интегрального уравнения (5.10.11):

Так как при имеем

то при интеграл (5.10.13) сходится, причем равномерно на каждом конечном промежутке Отсюда легко убедиться, что если то имеет смысл для любого и Далее, при будем иметь

Отсюда

Если выбрать константу Липшица столь малой, чтобы

то из неравенства (5.10.14), учитывая, что получим

Таким образом, при удовлетворяющем неравенству (5.10.15), получаем, что если то В дальнейшем мы будем предполагать, что условие (5.10.15) выполнено.

Для функций введем расстояние полагая

Тогда будет являться метрическим пространством (см. § 5), причем это пространство полное.

Убедимся теперь, что при условии (5.10.15) отображение Ту будет сжатым Действительно, если то из формул

используя условие Липшица 3), получим

Отсюда

где

в силу неравенства (5.10.15).

Таким образом, выполнены все условия принципа сжатых отображений (§ 5) и, следовательно, существует непрерывное ограниченное на решение интегрального уравнения (5.10.11), а значит, и дифференциального уравнения (5.10.8), причем

Решение может быть найдено методом последовательных приближений

2) В системе (5.10.8) положим

Тогда будем иметь

где

Очевидно, имеем

причем

Отсюда на основании теоремы об условной устойчивости (гл. IV, § 22) заключаем о существовании многообразий обладающих, соответственно, свойствами (5.10.9) и (5.10.10).

Замечание. Теорема остается в силе, если предположить, что условие Липшица выполнено лишь в области: где постоянная удовлетворяет неравенству (5.10.12).