Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ДОПОЛНЕНИЕ. ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

§ 1. Почти периодические функции в смысле Бора

Определение 1. Числовое множество называется относительно плотным на действительной оси если существует число такое, что каждый отрезок длины содержит хотя бы один элемент нашего множества, т. е. при любом а имеем

Пример. Множество очевидно, является относительно плотным множеством. Здесь можно принять

Множество не является относительно плотным, так как

Рассмотрим комплекснозначную функцию

где

Определение 2. Число называется почти периодом функции с точностью до (короче: ее -почти периодом или -смещением), если для любого имеет место неравенство

Очевидно, период функции есть ее почти период для любого Нетрудно показать, что 1) есть почти период для любого если есть -почти период функции то есть также -почти период этой функции; 3) сумма и разность -почти периодов этой функции есть также почти период ее с точностью до

Определение 3 (см. [66]). Комплекскозначная функция называется почти периодической в смысле Бора, если для любого существует относительно плотное множество почти периодов функции с точностью до существует положительное число такое, что любой отрезок содержит по меньшей мере одно число для которого выполнено неравенство

Основы теории почти периодических функций были заложены датским математиком Бором [66]. Основные теоремы о почти периодических функциях изложены, например, в [66] и [67].

Из определения следует, что всякая непрерывная периодическая функция, определенная на оси, является почти периодической.

Обратное утверждение не верно, почти периодическая функция может не быть периодической (см. дальше).

Замечание. Две точки

отличающиеся на -почти период функции назовем -конгруэнтными.

Если функция почти периодическая, то для каждой точки на любом отрезке где найдется -конгруэнтная ей точка

Действительно, в силу определения почти периодической функции на отрезке существует ее -почти период т. е.

Отсюда, полагая получим

Отметим некоторые элементарные свойства почти периодических функций (сокращенно — функций).

1. Если функция, то комплексные числа) и действительные числа) также функции.

2. Если функция, то также почти периодические функции.

Например, если есть -почти период п. п. функции для ее модуля очевидно, справедливо неравенство

и, следовательно, есть также п. п. функция. Укажем более общее свойство.

Теорема. Если множество значений почти периодической функции и — функция, равномерно непрерывная на то функция почти периодическая.

Доказательство. Пусть произвольно и таково, что

Тогда, если то в силу (1.2) имеем

Таким образом, есть -почти период функции что и доказывает ее почти периодичность.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление