Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Основные свойства почти периодических функций

Теорема 1. Почти периодическая функция равномерно ограничена на действительной оси.

Доказательство. Пусть функция и соответствующее число из определения 3 (§ 1) для Так как непрерывна на отрезке то

В силу замечания (§ 1) для любой точки существует -конгруэнтная ей точка Отсюда

Следовательно, ограничена на Теорема 2. Почти периодическая функция равномерно непрерывна на действительной оси.

Доказательство. Пусть функция и где произвольно.

Рассмотрим отрезок (рис. 55). Так как функция будучи непрерывной на равномерно непрерывна на то существует такое, что для

любых точек для которых справедливо неравенство

Пусть теперь произвольная пара точек из удовлетворяющая условию:

Для точки х найдется -конгруэнтная точка Тогда, так как то для у имеется -конгруэнтная точка

Рис. 55.

Учитывая неравенство (2.1), имеем

Следовательно, равномерно непрерывна на Следствие каждого множество -почти периодов почти периодической функции содержит относительно плотное множество отрезков фиксированной длины т. е. существует число такое, что на любом отрезке имеется подотрезок все точки которого являются -почти периодами функции

Действительно, пусть где определяется из свойства равномерной непрерывности функции Положим

где — число из определения п. п. функции (§ 1).

Рассмотрим произвольный отрезок Из определения п. п. следует, что существует -почти период Тогда (рис. 56). Отсюда при любом

, учитывая неравенство получим

Таким образом, отрезок где целиком состоит из -почти периодов функции

Рис. 56

Следствие 2. Для почти периодической функции для каждого существует относительно плотное множество -почти периодов х, являющихся целыми кратными числа

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление