Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Арифметические действия с почти периодическими функциями

Лемма 1. Для двух почти периодических функций при любом существует относительно плотное множество их общих -почти периодов.

Доказательство. Пусть функции и числа, характеризующие их равномерную непрерывность (§ 2). Положим

В силу следствия 2 (§ 2) существуют числа такие, что каждый из отрезков будет содержать соответствующие -почти периоды кратные числу Если положить то на каждом отрезке найдется пара -почти периодов где целые числа и

Так как где целое число, причем то может принимать лишь конечное число

значений; пусть это будут величины и пусть «представителями» их являются пары -почти периодов

Положим

Покажем, что каждый отрезок длины содержит по меньшей мере один общий -почти период функций

Действительно, пусть есть произвольный отрезок длины Возьмем на отрезке длины два периода и пусть

Отсюда получаем

Так как то Нетрудно видеть, что число является общим -почти периодом функций

В самом деле, на основании формулы (3.1) имеем

и

Лемма доказана.

Замечание. Лемма 1 легко распространяется на конечное число функций.

Теорема 1. Сумма двух почти периодических функций есть функция также почти периодическая.

Доказательство. Пусть функции следовательно, Отсюда Согласно лемме 1 для функций при

каждом существует относительно плотное множество их общих почти периодов Отсюда имеем

т.е. что и доказывает почти периодичность суммы

Следствие 1. Сумма конечного числа почти периодических функций (или периодических функций с любыми периодами) есть функция почти периодическая.

Следствие 2. Линейная комбинация

почти периодических функций есть функция почти периодическая.

В частности, каждый тригонометрический полином

( действительны) является п. п. функцией.

Замечание. Существуют п. п. функции, не являющиеся периодическими.

Например, есть п. п. функция, не сводящаяся к периодической.

Теорема 2. Произведение двух почти периодических функций есть функция почти периодическая.

Доказательство. Пусть функции и относительно плотное множество их общих -почти периодов:

Замечая, что и полагая (§ 2)

будем иметь

Так как число может быть произвольно малым, то отсюда вытекает почти периодичность произведения

Следствие 1. Произведение конечного числа почти периодических функций есть функция почти периодическая.

Следствие 2. Целая положительная степень почти периодической функции есть функция почти периодическая.

Лемма 2. Если почти периодическая функция и

то также почти периодическая функция.

Действительно, если то имеем

Теорема 3. Частное двух почти периодических функций где

есть функция почти периодическая.

Доказательство непосредственно следует из формулы

теоремы 2 и следствия 2.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление