Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Равномерно сходящаяся последовательность почти периодических функций

Теорема 1. Если последовательность почти периодических функций равномерно сходится на всей числовой оси то предельная функция

является почти периодической.

Доказательство. Пусть произвольно мало. В силу равномерной сходимости

существует число такое, что

причем

Пусть почти период функции с точностью до у. Используя неравенство (4.1), имеем

Отсюда, учитывая относительную плотность множества чисел заключаем, что предельная функция почти периодическая. Следствие 1. Каждая функция

допускающая равномерную аппроксимацию конечными тригонометрическими полиномами:

является почти периодической.

Замечание. Справедлива также обратная теорема, т. е. каждая п. п. функция является равномерным пределом некоторой последовательности тригонометрических полиномов (см. § 16).

Следствие 2. Сумма равномерно сходящегося на ряда почти периодических функций есть функция почти периодическая.

Теорема 2. Если почти периодическая функция имеет равномерно непрерывную на действительной оси — производную то эта производная также почти периодическая.

Доказательство. Пусть

Полагая очевидно, имеем

Функции

представляющие линейные комбинации п. п. функций, очевидно, почти периодические. Имеем

Так как функция равномерно непрерывна на то существует такое, что

Поэтому из формулы (4.2) при имеем

т. е.

Отсюда в силу теоремы 1 функция

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление