Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Интеграл почти периодической функции

Теорема. Интеграл

почти периодической функции является функцией почти периодической тогда и только тогда, если он ограничен, т. е. если

Замечание. Эта теорема была доказана рижским математиком Болем (см. [68]) более узкого класса почти периодических функций с конечным базисом частот (так называемых квазипериодических функций) и обобщена Бором (см. [66]) на общий случай п. п. функций.

Доказательство. Так как п. п. функция ограничена (§ 2), то необходимость условия теоремы тривиальна.

Докажем достаточность условия теоремы, причем, очевидно, можно предполагать, что функции и вещественны.

1) Очевидно, Пусть ограничена и

причем можно допустить, что

Покажем, что для на оси существует относительно плотное множество пар точек реализующих колебание функции

с точностью до

Рис. 57.

Действительно, по свойству нижней и верхней граней функции существует пара точек такая, что

где произвольно (рис. 57), и пусть

Рассмотрим пару сдвинутых точек

где . В силу почти периодичности функции точки а следовательно и точки образуют относительно плотное множество, и, следовательно, существует число такое, что всякий отрезок будет содержать точку х, конгруэнтную Поэтому на любом отрезке длины будет содержаться пара точек

и, таким образом, эти пары точек образуют относительно плотное множество. Далее, имеем

Отсюда

т. е.

Так как числа неотрицательны, то из неравенства (5.3) получаем

т. е. пара точек реализует колебание функции с точностью до причем на каждом отрезке длины зависящей только от найдется по меньшей мере одна такая пара точек.

2) Пусть теперь Оценим снизу и сверху разность

Для оценки снизу выберем на отрезке точку для которой выполнено второе из неравенств (5.4):

причем, очевидно, Тогда получим

Аналогично для оценки сверху выберем на отрезке точку для которой выполнено первое из неравенств (5.4):

где Имеем

Из односторонних оценок (5.5) и (5.6) находим

для любого

Таким образом, и функция

Теорема доказана.

Следствие. Если почти периодическая функция и

где — постоянная, ограниченная функция, то почти периодическая функция.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление