Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. Теорема о среднем значении почти периодической функции

Теорема 1. Для каждой почти периодической функции существует конечное среднее значение

Доказательство (см. [66]). 1) Выведем сначала оценку для смещенного интеграла

Пусть произвольно и длина, соответствующая числу Пусть, далее, почти период функции с точностью до (рис. 58).

Рис. 58.

Имеем

Отсюда, учитывая, что

и

получаем

где

2) Покажем, что последовательность

имеет предел при

Для этого применим критерий Коши. А именно, для любых натуральных чисел пит имеем

Отсюда, используя формулы (6.1), получим

Выбирая теперь столь большим, чтобы

при будем иметь

Следовательно, критерий Коши выполнен и, таким образом, существует

3) Теперь нетрудно доказать, что

Действительно, полагая

где натуральное число и учитывая ограниченность выражения при будем иметь

Отсюда непосредственно вытекает равенство (6.2). Теорема о среднем доказана.

Теорема 2 (усиленная теорема о среднем). Для всякой почти периодической функции равномерно по параметру имеет место предельное соотношение

Доказательство. Из формулы (6.1) при любом а имеем

где

Отсюда, в частности, получаем

Следовательно, для среднего арифметического

также будем иметь

Переходя к пределу в последнем неравенстве при в силу существования среднего значения находим

Из неравенств (6.4) и (6.5) выводим

если только

А это и значит, что

Следствие При любом имеем

Действительно, из формулы (6.6) находим

при . А это, очевидно, эквивалентно формуле (6.6).

Следствие 2. Полагая в формуле (6.7), получим

Среднее значение функции обладает следующими очевидными свойствами:

1) если то

в частности,

— п.п. функции, произвольные комплексные числа);

7) если функции и

то

Действительно, при имеем

Поэтому

и, значит, справедлива формула (6.8).

В частности, для равномерно сходящегося на ряда функций имеем

Если функция, то является также п. п. функцией (см. § 1). Следовательно, существует

Очевидно, причем Докажем, что тогда и только тогда, когда . С этой целью докажем следующее предложение.

Теорема 3. Если почти периодическая функция то

Доказательство. Пусть

В силу известного свойства п. п. функции (§ 1, замечание) существует число такое, что каждый отрезок

длины содержит точку которая -конгруэнтна точке

Отсюда

На основании свойства равномерной непрерывности п. п. функции (§ 2, теорема 2) существует такое, что

Поэтому на каждом отрезке найдется правый или левый подотрезок где (рис. 59), для любой точки которого справедливо

неравенство

Рис. 59.

Следовательно,

при Таким образом,

Переходя в этом неравенстве к пределу при будем иметь

что и требовалось доказать.

Следствие. Для каждой почти периодической функции выполнено неравенство

Замечание. Отметим еще одно свойство среднего значения, которое нам понадобится в дальнейшем. А именно, если функции и

то

Действительно, из условия (6.9) получаем, что функция (§ 4) и

Отсюда находим

Следовательно, при имеем

Таким образом,

А так как функции, то на основании свойства 7) справедливо соотношение (6.10).

Полезно отметить, что если функции, то среднее значение их произведения удовлетворяет обобщенному неравенству Коши — Буняковского:

Действительно, при любом имеем

Отсюда, переходя к пределу при получим неравенство (6.11).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление