Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8. Неравенство Бесселя

Пусть совокупность чистых колебаний (X действительно). Тогда произведение Следовательно, для каждой п. п. функции существует спектральная функция

Рис. 60.

В случае векторного пространства под проекцией (числовой) вектора на орт понимается число

Поэтому если п. п. функции рассматривать как радиусы-векторы функционального пространства то представляет собой числовую «проекцию» функции на орт (рис. 60). При этом векторная ортогональная проекция функции на орт очевидно, есть

Лемма. Если функция почти периодическая, то для любого конечного набора различных действительных чисел справедливо неравенство Бесселя:

Доказательство. Полагая для краткости рассмотрим выражение

В силу формулы (8.1) имеем

кроме того, так как чистые колебания образуют ортонормированную систему в пространстве то

где символ Кронекера. Поэтому из формулы получаем

Следовательно,

Следствие. Неравенство Бесселя остается верным для счетной совокупности действительных чисел

В самом деле, из формулы (8.5) получаем, что для любой последовательности действительных чисел ряд

сходится, причем при имеем

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление