Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 9. Понятие о ряде Фурье почти периодической функции

Лемма. Для каждой почти периодической функции ее спектральная функция

отлична от нуля лишь для конечного или счетного множества значений аргумента

Доказательство. Пусть Очевидно,

Рассмотрим те значения X, для которых

В силу неравенства Бесселя (§ 8), если это множество не пусто, то оно содержит лишь конечное число элементов. А именно, если то

Рис. 61.

Отсюда

Таким образом, А является объединением счетного множества конечных множеств и, следовательно, мощность его не более чем счетна. Итак,

за исключением, быть может, конечной или счетной последовательности значений (рис. 61).

Определение 1. Те значения X, для которых представляющие собой конечную или счетную последовательность действительных чисел называются показателями Фурье соответствующей п. п. функции а числа

— ее коэффициентами Фурье. На основании формулы (9.1) имеем

Совокупность всех показателей Фурье п. п. функции будем называть ее спектром.

Определение 2. Рядом Фурье п. п. функции называется конечный или бесконечный тригонометрический ряд

где спектр функции определяемые формулой коэффициенты Фурье. Порядок членов ряда Фурье и. функции, вообще говоря, произволен и зависит от упорядочения ее спектра Заметим, что для п. п. функции (и только для такой, как будет показано ниже (§ 14)) спектр функции представляет собой пустое множество и ее ряд Фурье формально не определен. Обобщая понятие ряда Фурье п. п. функции, разрешим дополнять сумму (9.3) любым количеством нулевых членов вида и тогда будем считать, что п. п. функции с пустым спектром, соответствует нулевой ряд Фурье

где счетная совокупность произвольна.

Ряд Фурье п. п. функции иногда выгодно записывать в виде континуальной суммы:

без явного выделения показателей Фурье где определяется формулой (9.1). Здесь подразумевается, что для А, не равного показателю Фурье функции, с этой, более общей точки зрения числа будем также называть коэффициентами Фурье п. п. функции Свободный член ряда Фурье представляет собой среднее значение функции, т. е. а

Заметим, что члены ряда Фурье (9.4) являются векторными ортогональными проекциями п. п. функции на соответствующие орты

Замечание. Для непрерывной чисто периодической функции периода ряд Фурье (9.3) совпадает с ее обычным рядом Фурье:

где

если, конечно, не учитывать порядок членов ряда и пропуск членов ряда с нулевыми коэффициентами. Действительно, для любого целого имеем

Отсюда, если (n - целое), то

и поэтому

Если же то Следовательно,

при и таким образом,

Теорема 1. Для каждой почти периодической функции сумма квадратов модулей ее коэффициентов Фурье образует сходящийся ряд, причем справедливо неравенство Бесселя:

Теорема непосредственно вытекает из доказанного раньше неравенства Бесселя (§ 10).

Следствие. Коэффициенты ряда Фурье почти периодической функции стремятся к нулю при , т. е.

Замечание. Как будет доказано выше, в формуле (9.5) всегда имеет место знак равенства.

Теорема 2. Равномерно сходящийся на оси тригонометрический ряд

является рядом Фурье своей суммы

Доказательство. Отметим, прежде всего, что сумма равномерно сходящегося ряда есть п. п. функция - (§ 4, теорема 1). Далее, так как для равномерно сходящегося ряда п. п. функций знак среднего и знак суммирования перестановочны, то

Следовательно, числа образуют спектр функции являются ее соответствующими коэффициентами Фурье. Таким образом, ряд (9.6) есть ряд Фурье функции Следствие 1. Если

то тригонометрический ряд

есть ряд Фурье своей суммы.

Следствие 2. Существуют почти периодические функции с произвольным счетным спектром.

Действительно, пусть произвольное счетное множество вещественных чисел. Тогда сумма равномерно сходящегося ряда

где будет представлять собой п. п. функцию с данным спектром

Заметим, что структура спектра функции может быть весьма сложной. Например, могут существовать конечные точки сгущения спектра, спектр может быть всюду плотным на действительной оси и т. п. Этим объясняется трудность изучения ряда Фурье п. п. функции по сравнению с чисто периодической функцией данного периода имеющей ряд Фурье:

спектр которого представляет арифметическую прогрессию

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление