Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 10. Формальные операции над рядами Фурье почти периодических функций

Пусть функции, т. е. Рассмотрим их ряды Фурье:

Тогда справедливы следующие соотношения:

( — произвольные комплексные числа);

( произвольное действительное число);

( произвольное действительное число);

Соотношения 1) — 4) легко вытекают из общих свойств среднего значения п. п. функции (§ 6).

Пусть (см. § 4). Для производной построим ее ряд Фурье:

Интегрируя по частям, будем иметь

где коэффициент Фурье функции Следовательно,

и, таким образом, ряд Фурье производной п. п. функции в случае ее почти периодичности получается формальным почленным дифференцированием ряда Фурье самой функции:

В частности, спектр производной совпадает со спектром функции за исключением точки Пусть функция и

т. е. функция является ограниченной (§ 7). Положим

Так как то на основании формул (10.1) и (10.2) имеем

Отсюда необходимо должно быть

и

Следовательно,

где

Таким образом, если для п. п. функции ее среднее значение

и интеграл ограничен (§ 7), то ряд Фурье интеграла этой функции получается путем формального почленного интегрирования ряда Фурье самой функции. В частности, спектр интеграла совпадает со спектром функции (не считая Замечание. Условие

необходимо для почти периодичности интеграла Однако, как показывает приведенный ниже пример, оно не является достаточным для почти периодичности этого интеграла. Пример. Функция

почти периодическая, причем так как свободный член ее равен нулю, то Однако ее интеграл

не является п. п. функцией.

Действительно, если бы интеграл то для его ряда Фурье мы бы имели

что невозможно, так как коэффициенты этого ряда не стремятся к нулю при (см. § 9, теорема 1, следствие).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление