Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 11. Свертка почти периодической функции

Пусть тогда при любом фиксированном функция

где функция, сопряженная является почти периодической. Следовательно, существует

т. е.

Функция называется сверткой функции Рассмотрим «неполную свертку».

Лемма 1. Для каждого неполная свертка почти периодической функции почти периодична по х, причем

где

Доказательство. 1) Докажем сначала, что равномерно непрерывна по на Действительно, пусть

и таково, что

Тогда при на основании формулы (11.2) имеем

что и доказывает равномерную непрерывность функции

Из неравенства (11.4) вытекает, что каждый период функции является почти периодом функции Следовательно, почти периодическая функция.

2) Для каждого имеем

и

Пусть любой -почти период функции Тогда

Таким образом, каждый почти период функции является -почти периодом функции Следовательно, для почти периодического семейства существует положительное число такое, что любой отрезок длины содержит по меньшей мере один -почти период для каждой функции На основании усиленной теоремы о среднем (§ 6, неравенство (6.6)) для каждой п. п. функции будем иметь

при

что равносильно соотношению (11.3).

Лемма 2. Если почти периодична, то для почти периодической функции

средние по х и по перестановочны, т. е.

Доказательство. Прежде всего, свертка

как равномерный предел п. п. функций есть функция почти периодическая. Следовательно, существует

Далее, на основании усиленной теоремы о среднем (§ 8), имеем

Поэтому почти периодична по и существует

Докажем теперь, что выполнено равенство (11.5). Так как функция непрерывна по совокупности переменных то при любых конечных О и имеем

Но

при Следовательно, в левой части равенства (11.6) можно совершить предельный переход при под знаком интеграла, и мы получим

или

Так как в силу леммы

то, переходя к пределу при в соотношении (11.7), на основании свойства 7) среднего значения (§ 8) окончательно будем иметь

что и требовалось доказать.

Теорема. Для всякой почти периодической функции ее свертка есть функция почти периодическая, причем

Доказательство (см. [66]). То, что свертка

есть функция почти периодическая, следует из того (как уже было упомянуто в лемме 2), что свертка является равномерным пределом п. п. неполных сверток (лемма 1). Впрочем, почти периодичность свертки легко доказать также непосредственно. Далее, используя перестановочность средних (лемма 2) и усиленную теорему о среднем (§ 8), имеем

Следствие. Если для почти периодической функции ряд Фурье есть

то ее свертка имеет следующий ряд Фурье:

Действительно, так как

то

Замечание. Аналогично доказывается, что если функции, то их свертка

есть функция почти периодическая.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление