Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 13. Равенство Парсеваля

Теорема 1. Для всякой почти периодической функции с рядом Фурье

имеет место равенство Парсеваля:

Доказательство. Рассмотрим свертку

Так как на основании неравенства Бесселя (§ 8) имеем

то ряд Фурье свертки сходится равномерно и, следовательно, имеет место равенство

Полагая здесь очевидно, получим равенство Парсеваля (13.1).

Замечание. Если модули коэффициентов Фурье рассматривать как величины проекций п. п. функции на орты то равенство Парсеваля представляет теорему Пифагора в пространстве п. п. функций

Определение. Говорят, что последовательность п. п. функций сходится в среднем к предельной п. п. функции если

Аналогично ряд

сходится в среднем к если последовательность частных сумм

сходится в среднем к

Теорема 2. Для всякой почти периодической функции ее ряд Фурье сходится в среднем к (при любом порядке слагаемых). Доказательство. Для отрезка ряда Фурье

согласно (8.4) и (13.1) имеем

если . А это и значит, что ряд Фурье функции сходится в среднем к

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление