Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 14. Теорема аппроксимации

Как было доказано выше (§ 2), предел равномерно сходящейся последовательности тригонометрических полиномов есть функция почти периодическая. Справедливо и обратное положение, что всякую п. п. функцию можно рассматривать как предел равномерно сходящейся последовательности тригонометрических полиномов, т. е. п. п. функции допускают равномерную аппроксимацию тригонометрическими полиномами с любой степенью точности. Оригинальное доказательство этой теоремы аппроксимации Бора, опирающееся лишь на определение п. п. функции, было дано Н. Н. Боголюбовым (см. [70]). Мы здесь приведем доказательство Винера (см. [71], [67]), основанное на применении равенства Парсеваля (§ 13).

Теорема аппроксимации. Если почти периодическая функция, то для всякого существует конечный тригонометрический полином

удовлетворяющий неравенству

где в качестве могут быть взяты показатели Фурье функции

Доказательство. Пусть

Функция почти периодическая. В самом деле, учитывая, что

при любом действительном имеем

т. е.

Отсюда, так как функция ограничена и равномерно непрерывна на то при следовательно, также ограничена и равномерно непрерывна на Кроме того, из неравенства (14.1) вытекает, что всякий -почти период функции является -почти периодом функции таким образом, эта функция почти периодическая.

Пусть произвольно. Рассмотрим функцию

(рис. 64).

Рис. 64.

Так как функция равномерно непрерывна на то сложная функция является почти периодической (см. § 1). Функция неотрицательна, и так как то Поэтому ее среднее значение

Положим

тогда, очевидно, функция и

Рассмотрим функцию

Используя равенство (14.2), имеем

Но согласно определению функция что если то

Отсюда при будем иметь

Таким образом, из неравенства (14.3) получаем

Для функции рассмотрим ее ряд Фурье

Обозначая через у произвольно малое положительное число, на основании неравенства Бесселя (§ 8) выберем так, чтобы

Пусть

и

Так как

то, используя равенство Парсеваля, получим

Положим

Очевидно, есть тригонометрический полином, причем показатели Фурье функции Имеем

Отсюда, применяя известное неравенство Коши-Буняковского (§ 8) и используя неравенство (14.5), получаем

если выбрать

Из неравенств (14.4) и (14.6) находим

Теорема аппроксимации доказана.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление