§ 4.5. ФЕРМИОННЫЙ ВЕРШИННЫЙ ОПЕРАТОР

Вычислим конформные веса бозонизированных полей:

Теперь недостающая часть найдена. Поскольку бозонизированное поле имеет вес 3/8, мы можем построить настоящую фермионную вершинную функцию нашей теории:

Она имеет конформный вес

Если поместить внешнюю фермионную линию на массовой поверхности» положив

то у нас получится вершинная функция с конформным весом 1. Она обладает требуемыми свойствами взаимодействия с BRST-зарядом: с точностью до членов, обращающихся в нуль на массовой поверхности,

Это одно из крупных достижений конформной теории поля: построение настоящей фермионной вершинной функции с конформным весом 1, целиком основанной на свободных полях. Ключевым моментом было использование духового сектора для обеспечения недостающего конформного веса 3/8.

Хотя теперь наша цель достигнута, мы еще не выбрались из чацщ Мы упоминали выше в предыдущем параграфе, что существует одна трудность с бесконечным бозонным морем. Оказывается, что если подставить эту фермионную вершинную функцию в матричный элемент бозонной матрицы рассеяния, то мы получим 0:

Что нам нужно - это, конечно, вершинная функция с духовым зарядов который мог бы сократиться с зарядом —1/2, происходящим из фермионной вершинной функции. Эта новая вершинная функция должна антикоммутировать с BRST-зарядом с точностью до членов обращающихся в нуль на массовой поверхности. Легко показать, что любая вершинная функция

при произвольном Ф дает обращающееся в нуль антикоммутационное соотношение с BRST-зарядом, поскольку нильпотентен. Однако все такие функции шпурионные. Эти состояния нулевые и не взаимодействуют с физическими состояниями которые удовлетворяют соотношениям

так что их нельзя использовать как вершинные функции. Они просто дают нулевые матричные элементы с физическим сектором теории. Однако есть одна вершинная функция, для которой это рассуждение неприменимо:

В нормальной ситуации следовало бы ожидать, что такая вершинная функция также является шпурионной и не взаимодействует с физическими состояниями системы. Однако как мы указывали ранее, не является частью неприводимого фоковского пространства теории, и поэтому мы не можем просто сказать, что коммутатор обращается в нуль при сокращении с физическими состояниями. Эта вершинная функция необязательно обращается в нуль, поскольку

Проведя вычисления, находим, что эта вершинная функция равна

Именно такой оказывается правильная фермионная вершинная функции сокращающаяся с

Именно здесь, однако, мы сталкиваемся с довольно тревожно проблемой. Теперь у нас оказывается слишком много возможных вершинных функций! Например, мы могли бы также написать

Фактически существует бесконечно много таких вершинных функций, каждая из которых связана со своим, неэквивалентным другим, бозонным морем вакуума. Конечно, такое изобилие вызывает смущение. Однако можно показать, что нам достаточно использовать лишь а все другие вершинные функции не дадут каких-либо новых матричных элементов. Мы хотим показать, что справедливо следующее тождество:

Доказательство того, что мы можем просто заменять произвольным образом духовые индексы —1/2 на или наоборот у вершинных функций, включает довольно тонкие рассуждения, позволяющие переходить от неприводимого малого фоковского пространства (которое не включает нулевой моды поля к приводимому большому фоковскому пространству (которое эту моду включает) и обратно.

Начнем с того, что перепишем вершинную функцию в эквивалентной форме:

Заметим, что теперь эта функция записана в большом фоковском пространстве, так что необходимо подставить другую чтобы переопределить вакуум и получить ненулевой матричный элемент. Однако поскольку положение несущественно (так как нам нужна липп» ее нулевая мода), то можно переписать матричный элемент в виде

Пока что ничего существенного не сделано. Мы просто перешли от Малого фоковского пространства, в котором нулевая мода поля отсутствует, к большому фоковскому пространству, в котором она есть, но матричный элемент остался в точности тем же.

Сделаем теперь следующее наблюдение. Интеграл по контуру, окружающему можно менять произвольно, так что деформируем (растянем) этот контур так, что он обойдет сзади риманову поверхность и окружит точку Конечно, при растяжении контура он будет пересекать другие бозонные вершины, но заметим, что коммутирует со всеми этими вершинами на массовой поверхности, так что мы

можем передвигать и контур, и ток произвольным образом, пока они не окружат

Заметим, что контур интегрирования теперь окружает точку которую можно записать как Итак, мы полностью обратили положение контура интегрирования, и теперь мы можем устранить все и вернуться к малому фоковскому пространству. Символически эти шаги можно изобразить так:

Цель этого упражнения - показать, что можно успешно поменять местами в выражении для матричного элемента. Это означает, что хотя фермионных вершинных функций бесконечно много, все они дают один и тот же матричный элемент на массовой поверхности.