§ 8.2. СТРУННАЯ ГРУППА

Следуя основной стратегии (8.1.1), начнем обсуждение струнной группы с введения совокупности всех непараметризованных физических пространственно-временных струн:

Непараметризованные физические струны:

Очень важно отметить, что эти струны определяются независимо от любой конкретной параметризации или любой фоновой классической гравитационной метрики. При этом каждая струна в данном триплете имеет определенное направление или ориентацию, поэтому в целом триплетная конфигурация является циклической (антициклической). Теперь определим

Эти константы просто равны 1, — 1 и 0 в зависимости от того, образуют ли струны 1, 2 и 3 триплет, антитриплет (с обратным порядком) или ни то ни другое.

Пусть С представляет струну с обратной ориентацией по отношению к струне С. Тогда окончательная форма структурных констант такова:

Эти структурные константы являются антисимметричными по струнам 1 и 2. Далее мы вводим абстрактный групповой генератор связанный с физической струной С. Алгебра струнной группы определяется следующим образом [1, 2]:

(Мы будем всегда суммировать по повторяющимся индексам.)

Решающая проверка, конечно, состоит в том, удовлетворяет ли алгебра тождеству Якоби. Образуем коммутатор трех таких генераторов:

Рис. 8.2. Доказательство тождества Якоби. Сумма по перестановкам триплетного коммутатора трех струн исчезает тождественно. При этом отсутствует необходимость подбирать точку соединения трех струн для выполнения тождества Якоби.

Следовательно, хотелось бы показать, что

(Заметим, что суммирование по тривиально, поскольку существует только одна струна, которая сопряжена как так и

Замкнутость алгебры легко доказать, рассмотрев рис. 8.2. Для доказательства требуется пять струн. Выбрав перестановку с порядком следования струн сначала и потом, мы приобретаем фактор Однако вклад от перестановки и затем равен . И наконец, последняя перестановка а затем дает нуль, потому что эти струны триплета не образуют. Таким образом, сумма по циклическим перестановкам равна

Важно отметить, что структурные константы группы удовлетворяют тождеству Якоби без каких-либо ссылок на параметризацию струны. Каждый индекс представляет пространственно-временную струну С, не зависящую от любой параметризации или классической метрики. При этом не нужно подбирать точки соединения четырех струн, и следовательно, на струне не существует специальной «средней точки», которая как-то выделяется.

Убедившись в замкнутости алгебры, попытаемся теперь построить Некоторое ее простое представление. При этом мы будем придерживаться вывода представлений групп Ли, описанного в приложении, где строится представление ортогональной группы Там мы начинаем с Преобразования поворота для вектора

оставляющего неизменной комбинацию

Множество матриц не меняющих образуют группу

Применим тот же подход к струнной группе. Для этого мы сделаем переход от к струнной группе, отмечая элементы представления индексом С:

где С представляет все возможные пространственно-временные струнные конфигурации, совершенно не зависящие от любой параметризаций струны, играет точно такую же роль, что и Как и в случае выполним над этим вектором преобразование с помощью матриц, определенных на струнных состояниях:

Теперь потребуем, чтобы комбинация фссрс не менялась под действием группы О:

Здесь использовано определение

где С обозначает струну С с измененной ориентацией. Обратим внимание на то, что струнные индексы С преобразуются под действием струнной группы ковариантным образом ( - параметр преобразования),

в то время как индексы элементов для струн с обратной ориентацией преобразуются контравариантно:

Подставляя (8.2.13) и (8.2.14) в (8.2.11), можно показать, что комбинация фсфс действительно инвариантна.

В этом представлении явный вид генераторов таков:

Элементы струнной группы удовлетворяют условию

Подобно примеру с метрикой здесь мы видим, что метрика есть

Используя (8.2.16), легко проверить, что под действием струнной группы дельта-функция преобразуется как истинный тензор со смешанны компонентами:

Выразим элементы нашей группы через экспоненцирование элемента

алгебры:

где параметры группы. Такое определение групповых элементов как операторов позволяет написать

Действие группы на состояниях определим следующим образом:

Подставляя (8.2.21) в (8.2.20), мы можем снова получить инфинитезимальное преобразование:

Отметим, что эти преобразования действительно образуют группу, так как

Этот групповой закон можно проверить для инфинитезимальных преобразований. В этом случае мы просто заново выводим тождество Якоби.

В отличие от ортогональной группы, для которой векторы и групповые генераторы преобразовывались различным образом, мы находим, что вектор преобразуется по присоединенному представлению нашей группы. Пусть, к примеру, базисные состояния струнной группы представляются базисными векторами

Теперь определим

Следовательно, мы имеем следующий инвариант:

Таким образом, преобразования

сохраняют этот инвариант.

Имея набор таких контравариантных базисных векторов, мы можем определить действие генераторов в их пространстве:

В этом специальном представлении единичный оператор имеет вид

а генератор нашей алгебры в новом базисе может быть представлен как

Следовательно, еще раз получаем уравнение

Здесь мы сочли удобным ввести новый символ х, обозначающий умножение струн. Таким образом, показано, что следующая комбинация инвариантна относительно преобразований, параметризуемых параметром (см. рис. 8.3):

Рассмотрим теперь вопросы, связанные с трехструнными взаимодействиями. Определим

Здесь мы суммируем по всем возможным триплетным комбинациям Можно теперь показать, что эта комбинация инвариантна относительно действия струнной группы:

(Простейший способ показать инвариантность трехструнной вершины состоит в том, чтобы разложить сумму по всем возможным взаимодействиям и выделить только одно значение Зафиксировав величину параметра , найдем четыре различных члена, дающих вклад в вариацию. На рис. 8.4 видно, что сумма всех четырех диаграмм дает нуль.)

Итак, мы установили, что представления струнной группы очень похожи по своей структуре на представление группы Более того, найдены два инварианта не зависящие от параметризации или

Рис. 8.3. Построение инвариантов струнной группы. Прямым вычислением можно показать, что вариация этого квадратичного члена обращается в нуль.

Рис. 8.4. Инвариантность кубического взаимодействия. Мы можем показать, что кубическое взаимодействие является инвариантным относительно действия струнной группы.

фоновой гравитационной метрики: